Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
и^Ц4Аг\ = А'/1а (А) g.
Отображение а можно расширить по линейности на всю алгебру 9Л, и единственность эрмитова и ортогонального разложений обеспечивает корректность такого определения. Мы пришли к положительному отображению а на Ш, для которого а (I) = 11. Повторяя вновь эту конструкцию с заменой U на U*, устанавливаем существование а-1 и его положительность. Таким образом, а — порядковый изоморфизм ЭД?, а импликация (5) => (1) теоремы 3.2.3 показывает, что это Йорданов автоморфизм. Пусть U (а) — унитарный элемент, ассоциированный с а согласно доказанной ранее второй части теоремы 3.2.15. Тогда
(g, а (Л) |) = (|, Д*/4а (А) g) = (g, Uh^Av) = (г), ЛП).
Отсюда вытекает, что U (а)* g = т) = t/*g. Следовательно, сославшись на теорему 2.5.31 и предложение 2.5.30, имеем
U (а) Д1/4Лт) = Д^/4а (Л) g = {/Д},/4Лг),
и в результате U (а) = U. Тем самым показано, что а не зависит от g, а связь между U и а следует из доказанной второй части теоремы.
Характеризация йордановых автоморфизмов, содержащаяся в теореме 3.2.15, не лишена некоторых недостатков, будучи связанной с естественным конусом 9. Этот конус представляет собой
3.2. Теория для случая алгебр
235
замыкание множества и хотя 1 и й являются первич-
ными объектами теории, модулярный оператор А приходится уже конструировать, а эту задачу не всегда просто решить. Итак, применимость критерия U SP для йордановых автоморфизмов ограничена трудностью доступа к модулярному оператору А, т. е. к конусу Ф. Естественно задаться вопросом, и это будет ближайшей темой нашего рассмотрения, нельзя ли вместо конуса 3 ввести в предыдущий критерий исходный конус или его замыкание. В следующей теореме показано, что конус действительно может применяться для выделения йордановых автоморфизмов, если эти автоморфизмы удовлетворяют добавочным условиям инвариантности.
Теорема 3.2.18. Пусть 3}? — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором, Q, и пусть at — ассоциированная с ним группа модулярных автоморфизмов. Если. U — унитарный оператор, UO = Q и
и*ж+о^ эйД
то найдется единственный йорданов автоморфизм а алгебры ЭК, для которого
UAO = a (A) О
при всех А ? ЗИ, и этот автоморфизм ос обладает свойствами инвариантности
(О, АО) = (О, а (А) О), а, (а (Л)) = а (ot (А)) (*)
при всех А ? Ш и / ? R.
Обратно, если а — йорданов автоморфизм, удовлетворяющий условиям (*), то существует единственный унитарный оператор U, такой что UQ, = О,
иш+о s аи+p., ит+о s зк+q
и при всех А ? Ш
UАО — а (А) ?2.
Кроме того, этот оператор U совпадает с U, фигурирующим в теореме 3.2.15.
Первый существенный ингредиент доказательства — установление связи между U и а, а для этого необходимо доказать, что U отображает конус в себя.
Лемма 3.2.19. Пусть Ш — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором О, а Т — такой ограниченный оператор, что ТО ~ О = Т*0 и
ТШ+0 с= gjf+Q.
236
3. Группы, полугруппы и генераторы
В таком случае
ТШМ = ЭД+0.
Доказательство. Сперва установим, что Т*Ш’+0 ? 5W+Q. Возьмем А'? ? 5DI+ и А ? 5Ш+. Тогда
(T*A'Q, AQ) = (A'Q, TAQ) » О, так как TAQ ? 5Di+Q. Выберем A„ ? 5Ш+'так, чтобы AriQ—>¦ TAQ; при этом (T’A'Q, AQ) = lim (A|/2Q, A'a'/2Q) < f A'|| lim (Q, AflQ) =
= || A'|| (Q, TAQ) =|| A'|| (Q, AQ).
Следовательно, по теореме 2.3.19, существует В' ? 5Ш+ с Ц В’ || || А' ||, для
которого
(T*A'Q, AQ) = (B'Q, AQ)
при всех А ? 5Ш+. Поэтому T*A'Q = B'Q и T*2R+Q S SDi+Q. Если провести те же рассуждения, только поменяв ролями Ш и 5DT, то получим искомое включение T5DI+Q Е 5U?+Q.
Доказательство теоремы 3.2.18. Теперь можно перейти к доказательству теоремы. Для А ? 331+ в силу леммы 3.2.19 существует единственный оператор а (А) ? 5Ю+ со свойством
UAQ = а (A) Q,
и а (() = И. Поскольку U* также отображает 5UI+Q в 5DI+Q, линейное расширение а на 501 является порядковым автоморфизмом и, следовательно, йордановым автоморфизмом (по теореме 3.2.3). Очевидно, что
(Q, AQ) = (Q, U АО) = (Q, a (A) Q).
Далее, для S = JA1'2 имеем
t/SAQ = UA*Q = a (A)* Q = SUAQ.
Переходя к замыканиям, получаем
UJ&1/2 =
а нз единственности полярного разложения выводим
UJ = JU, i/AI/2 = A l/2U.
Оператор U ограничен, поэтому он будет коммутировать со всеми ограниченными функциями от Л1/2, так что
а (ot (A)) Q = UAltAO = Ai{UAQ = ot (а (A)) Q.
Вектор Q — отделяющий, следовательно, а и (Г; должны коммутировать.
Для доказательства второго утверждения мы сначала воспользуемся теоремой 3.2.15, согласно которой существует унитарный оператор U со свойствами U91 = и пр. Условие инвариантности
