Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Дадим основное определение, на котором основан весь дальнейший анализ.
3.2. Теория для случая алгебр
239
Определение 3.2.21. (Симметрическое) дифференцирование С*-алгебры 91 — это линейный оператор б, действующий из некоторой *-подалгебры D (б) s 91 в 91, причем для любых А и В из его области определения D (б)
(1) б (А)* = б (Л*),
(2) б (АВ) = б (А) В + Лб (В).
Часто термин «дифференцирование» употребляют для операторов со свойством (2), не обладающих свойством симметричности б (Л)* = б (Л*). Но нас будут интересовать только симметрические дифференцирования, поэтому мы позволим себе иногда называть их просто дифференцированиями. Очевидно, что несимметрическое дифференцирование с самосопряженной областью определения всегда можно разложить в сумму 6=6t + гб2 симметрических, например бг (А) = (б (А) + б (Л*)*)/2, б2 {А) = (б (А) —
— б (A*)*)/2i. Поэтому до известной степени можно ограничиться изучением симметрических дифференцирований. Отметим, что если И ? D (б), то б (11) = 0 вследствие соотношения б (И) = = б (I2) = 26 (1).
Дифференцирования возникают как инфинитезимальные генераторы непрерывных групп *-автоморфизмов, А ? 91 н-> xt (А) ? ? 91, t ? R. Два указанных выше определяющих свойства проистекают из соотношений
т, (АГ = т, (Л*), т, (АВ) = т, (A) xt (В),
если их продифференцировать (относительно топологии, в которой непрерывна группа т). Разумеется, генераторы обладают многими дополнительными свойствами, которые диктуются наличием у 91 структуры банахова пространства. Такие свойства, как замкнутость, диссипативность и пр., подробно обсуждались в разделе 3.1. Ближайшей нашей целью будет установление свойства, обеспечивающего диссипативность дифференцирования. Фактически мы рассмотрим более широкий класс операторов, которые можно рассматривать как прототипы генераторов полугрупп, сохраняющих положительность (см. пример 3.2.20 и замечания перед ним).
Предложение 3.2.22. Пусть 91 — некоторая С*-алгебра с единицей И, а 8 — такой оператор из *-подалгебры D (б) s 91 в 91, что
(1) 1 ? D (б);
(2) если А ? D (б) и А 0, то Л1/2 ? D (б);
(3) если А ? D (б), mob (Л)* = б (А*) и б (А*А) Зз б (Л *) Л + + Л*6 (Л).
При этих условиях 6 диссипативен.
240
3. Группы, полугруппы и генераторы
Доказательство. Если А ? D (б), то А*А ? D (б). Пусть т] — касательный функционал к А*А; удобно считать его нормированным: ||т)||= 1. Мы утверждаем, что т} положителен; для проверки достаточно показать, что т} (И) = 1 (см. предложение 2.3.11). Но если т} (11) = а i(5, то с помощью оценки || 11 — 2А *А/ ||Л||21| ^ 1 выводим
а* + ра = |т] (И) |а< 1,
(а — 2)2 + Р2 = | т] (И - 2А*А/\\ А ||2) |2 ^ 1.
Поэтому а = 1 и Р = 0.
Далее, введем т]А ? St*, положив г\А (В) — т] (А*В) при В ? Щ. Из неравенства Коши — Шварца следует, что ||т]А || ^ || А ||. Кроме того,
||Л||* = т](/1М)=т]А(/1)<|т]А| || А И, •
так что Г|А — касательный функционал к А. Вследствие положительности т}
^JB) = Л (ВА*).
Поэтому
2Rer|A (б (Л)) = г] (Л*б (Л)) + r| (б (Л*) Л)
^ г) (б (А*А)) = -г) (б (В2)) +1| А рг) (б (11)),
где В — (|| Л ||2 11 — А*А)1!2. Однако
б (11) = б (И2) > б (11) И 4- Цб (11) = 26 (11)
и, следовательно, б (И) ^ 0. К тому же
—Г] (б (В2)) < —т] (б (В) В) — Г] (Вб (В)) = 0;
последнее равенство вновь получается применением неравенства Коши — Шварца:
| г] (б (В) В)12 < г] (б (В)2) г] (В2) = г) (б (В)2) (|| Л |рт] (Ц) — г] (А*А)) = 0. Комбинируя эти оценки, приходим к неравенству Re Г|А (б (Л)) ^ 0, т. е. б диссипативен.
Свойство диссипативности уже обсуждалось в пункте 3.1.2 в связи с С0-полугруппами. Оно представляет интерес, потому что сразу же приводит к целому ряду заключений. Например, диссипативный оператор б'с плотной по норме областью определения замыкаем по норме и удовлетворяет оценке
|| (/ — аб) (А) 1 52= || A J)
при всех А е D (8) и а ^ 0, согласно леммам 3.1.14 и 3.1.15. Единственная проблема с применением предложения 3.2.22. состоит в том, что область определения дифференцирования не обязательно инвариантна относительно операции извлечения квадратного корня. Если дифференцирование б замкнуто по норме, то с помощью функционального исчисления, которое развито ниже в этом пункте, можно установить, что D (б) будет инвариантна при извлечении квадратного корня из положительных обратимых элементов. Тем не менее можно показать, что в случае замкнутости (по норме) б и инвариантности D (б) при извлечении
3.2. Теория для случая алгебр
241
квадратного корня из положительных элементов б автоматически оказывается ограниченным. Мы не станем приводить доказательство последнего утверждения, а рассмотрим вместо этого аналогичный результат при D (б) = 91. В такой ситуации область определения б заведомо обладает требуемым свойством инвариантности, и мы быстро получим
