Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 3.2.23. Пусть б — всюду определенное дифференцирование, действующее из С*-алгебры 91 в большую С*-алгебру 23. Тогда б ограничено.
Доказательство. Если St не имеет единицы, то б можно расширить на 51 = = СИ + Ш, положив б («11 4- А) = б (Л). Так или иначе, б будет удовлетворять условиям предложения 3.2.22, и лемма 3.1.14 обеспечит замыкаемость б по норме, а значит замкнутость б. По теореме о замкнутом графике всюду определенный замкнутый по норме оператор автоматически ограничен.
Последнее заключение можно усилить в случае алгебры фон Неймана. Если б — дифференцирование алгебры фон Неймана и существует такая ее С*-подалгебра 91, что 91 = D (б) и вдобавок 91 слабо плотна в ЭЛ, то б обладает ограниченным расширением на ЭЯ. Такой вывод прямо вытекает из следствия 3.2.23 и результатов о расширении, которые содержит
Предложение 3.2.2.4. Пусть С*-алгебра% реализована ограниченными операторами в гильбертовом пространстве .?>. Пусть б — дифференцирование, действующее из алгебры % в ее слабое замыкание ЭЯ, tn. е. 91 = D (б) и б (91) ^ ЭЯ. При этих предположениях 6 имеет единственное о-слабо замкнутое ограниченное расширение 6 на ЭЯ и 6 есть дифференцирование ЗЯ с || 6 || = || б [[.
Доказательство. Сперва заметим, что следствием 3.2.23 гарантируется ограниченность б. Затем, для всякого положительного Л ? Ж и всякого нормального состояния со на Ш верна оценка
| со (б (Л)) | = | со (б (Л1/2) Л1/2 + Л1/2б (Л1/2)) | < 2 || 6 || (|| Л || со (Л))1/2,
Если Л — положительный элемент из Э!Л, то по теореме Капланского о плотности найдется такая сеть Аа ? Ж, что Ла > 0, [| Ла || ^ || А || и Ла—>- А а-слабо, т. е. в а (Ш, 2К*)-топологии. Пользуясь полученной выше оценкой и йордано-вым разложением (предложение 3.2.7), показываем, что б (Аа) сходится а-слабо. Зададим б (Л) формулой б (Л) = Нтаб (Ла). Далее, учтем, что всякий элемент Л ? ЯЛ представйм в виде А = Аг — Л2 + ( (Л3 — Л4) с помощью четырех положительных элементов Л,, у которых || Л,'|| ^ || Л ||. Значит, по линейности можно расширить б на всю алгебру Ш1. Легко проверить, что полученный оператор 6 на ЯЛ будет дифференцированием, а равенство ||б||=||б|| выводится опять-таки с помощью теоремы Капланского о плотности.
У предложения 3.2.22 есть и другие приложения, которые выходят за рамки изучения ограниченных дифференцирований. Многие дифференцирования РГФ-алгебр тоже имеют области определения, инвариантные относительно взятия квадратного корня. Проиллюстрируем это таким примером.
242
3. Группы, полугруппы и генераторы
Пример 3.2.25. Пусть Ж обозначает РГФ-алгебру, определенную согласно примеру2.6.12,т. е. Ж представляет собой замыкание понормесемейства|Щл|л ^ ^
полных матричных подалгебр 91Л, где If обозначает множество всех конечных подмножеств некоторого множества индексов I. Если f| Л2 = 0, то йл и 91 л коммутируют. Теперь пусть {Лл}я>1 — любое возрастающее семейство подмножеств в If, удовлетворяющее условию (J пА„ = /. Выберем элементы Пп = Н* ? так, чтобы —Нп—\ коммутировали с 91Л . Можно за-
дать симметрическое дифференцирование б алгебры Ж следующим образом:
D (б) = U ЭГЛ) б (Л) =i lim [Нп, А], А ? D (8);
Лв/f п^°°
существование предела обеспечивается коммутационным условием, наложенным на Н„ — Нп_х. Область D (б) инвариантна относительно операции взятия квадратного корня, потому что такой инвариантностью обладает каждая алгебра Э1л.
Интересно отметить, что эта конструкция допускает обращение. Если б — дифференцирование с
Я(б)= и яЛ,
a?ij
a eij — множество матричных единиц для 9ГЛ, то
б(А) = i[HA, А]
при всех Л ? ЖА , где
ял=4~2 чеп)еч-!
Теперь мы рассмотрим другие критерии замыкаемости дифференцирований, обладающие более обширной сферой применимости, чем предложение 3.2.22 или лемма 3.1.27.
Предложение 3.2.26. Пусть б — плотно по норме определенное дифференцирование С*-алгебры 91. Для замыкаемости б по норме достаточно, чтобы существовало такое состояние со, что
(1) | со (б (Л)) | < L I Л U при всех А ? D (б) и некоторой константе L ^ 0;
(2) представление ($м, ям) .алгебры 91, ассоциированное с со, точно.
Доказательство. Леммой 3.1.9 установлено, что плотно по норме определенный оператор б в Ж замыкаем по норме (= а (Щ, (Щ, Щ*)-замыкаем)
тогда и только тогда, когда сопряженный оператор б* в Ж* слабо* плотно определен. Поэтому мы сосредоточим усилия на доказательстве плотности D (б*). Сперва отметим, что, по определению, со ? D (б*) и
(б*со)(Л) = со (б (Л)).
Кроме того, из основного .свойства дифференцирований следует, что
со (Лб (В) С) = со (б (ЛВС)) — со (б (Л) ВС) — со (ЛВб(С))
при всех А, В, С ? D (б), так что
|со(Лб(В)С)|</.||ВЦ || со || (|| А || IIС || + || б (А) || ||С|| + ||Л|| ||б(С)||).
