Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
UAU* = а (Л) Е + /а (Л*) / (И — Е).
В доказательстве теоремы существенно используются ранее полученные результаты раздела 2.5, а также некоторые добавочные сведения о геометрии конуса SP. В частности, нужны следующие свойства инвариантности 9):
Лемма 3.2.16. Пусть Ш — алгебра фон Неймана с циклическим и отделяющим вектором Q, и пусть А, J, 9* обозначают ассоциированные с ним модулярный оператор, модулярную инволюцию и положительный конус. Если А ? ЗК П 9Й', то
Д«ЛД-« = Л, JAJ = А*.
Если Е ? Ш П Зй' — проектор и 31 = ЗЯЕ + Ш' (И — Е). то 31 — алгебра фон Неймана и вектор Q является циклическим и отделяющим для 31. Соответствующие Д0, /0 и удовлетворяют соотношениям .
Д0 = АЕ + А"1 (1 — Е), J0 = /, 9>0 = 9>.
3.2. Теория для случая алгебр
233
Доказательство. Возьмем проектор Е ? ЭК [~| ЭК'. В обозначениях раздела 2.5 для любых А ? ЭК, А' ? ЭК' имеем
SEAQ = A*EQ = EA*Q = ESAQ, FEA'Q = EFA'Q.
Переходя к замыканиям операторов, получим, согласно предложению 2.5.11, М1/2? = ?7Д1/2, Д1/2 JE = EAl/2J.
Далее, отметим, что
Д Е = Д!/277Д1/2? = EAl/2JJA1/2 = ?Д,
Из ограниченности ? следует, что ? коммутирует с Д!^, а потому и с Д1/2. Тем самым
?7Д1/2 = M1/2? = 7?Д!/2.
Отсюда вытекает, что JE = EJ. Первое утверждение леммы выводим теперь, аппроксимируя А линейными комбинациями проекторов.
Множество = ШЕ + ЗК' (11 — Е), очевидно, является алгеброй фон Неймана с коммутантом 31' = Ш'Е -(-9)1(11 — Е), и нетрудно показать, что ?2 — циклический и отделяющий вектор для 31. Заметим еще, что вектор ??2 — циклический и отделяющий для ШЕ в ?§. Из предложений 2.5.11 и 2.5.26 легко вывести равенства
J0 = J0E + J0 (11 — Е) = JE + J (И — E) = J,
Д0 = AE + Д’1 (1 — Е),
= Е&ц + (И — Е) = Е& + (И — Е) 3s = &.
Доказательство теоремы 3.2.15. Мы начнем с доказательства второго утверждения теоремы. Заметим, что предложение 3.2.2 гарантирует существование такого проектора Е ? ЭК П ЭК', что отображение A i—> а (А) Е — морфизм, a А I—а (Л)(1 — Е) — антиморфизм. Введем отображение |3: 2J2 —> 31 г ШЕ + + ЭК' (И — Е), задаваемое формулой
Р (А) = a (A) E + Jcc (Л*) J (И — Е).
Если F ? ЭК Г] ЭК' — другой проектор с теми же свойствами, что и Е, то, как легко видеть, Р — Е + F — EF определяет абелеву алгебру РЭК = РШ'. Тем самым 31 единственным образом определяется а, так что отображение р единственно, согласно лемме 3.2.16. Это отображение — морфизм; так,
Р (АВ) = (а (Л) Е)(а (В) Е) + Ja (Л*) а (В*) (И — Е) J = Р (Л) Р (В);
здесь учтено, что JE = EJ. Поскольку Р изоморфно отображает ЭКсТ1 (Е) (соотв. Ша(11 — Е)) на ШЕ (соотв. Ш'Е), это изоморфизм. Естественные конусы, ассоциированные с парами (ЭК, ?2} и (31, ?2}, совпадают по лемме 3.2.16. Таким образом, в силу следствия 2.5.32,существует единственный унитарный оператор U = U (а), для которого U&= SP и fj (Л) = UAU*. Остается установить связь между U = U (а) и а; для этого заметим, что J\ = \ при %, ? & (предложение 2.5.26, (4)) и
(I, 11AU*\) = (|, Р (Л) I) = (|, а (Л) Е\) + (а (Л*)(1 - Е) I, 6)
= (|, а (Л) Е1) + (|, а (Л)(1 -?)?)= (?, а (Л) Е)-
Тем самым мы одновременно получаем и последнее утверждение теоремы. Для доказательства первого утверждения нам потребуется следующая характеризация граней конуса
234
3. Группы, полугруппы и генераторы
Лемма 3.2.17. Пусть ЭК —• алгебра в стандартной форме и \ ? 9. Следующие условия эквивалентны:
(1) I циклический и отделяющий вектор;
(2) множество = 1л 6 < I пРи некотором К > 0}
плотно в &.
Если эти условия выполнены, то т] < | тогда и только тогда, когда г) = А А\ при некотором А ? 2К+ с || А || < 1.
Доказательство. (1) => (2). Если вектор g —¦ отделяющий, то заключительное утверждение леммы уже доказано в лемме 2.5.40, из которой вдобавок следует, что Qg = Д^4ЯК+|. Последнее множество плотно в = & согласно предложениям 2.5.26, (1) и 2.5.30, (2).
(2) => (1). Предположим, что Q| плотно, но вектор g — не отделяющий. Тогда должен найтись такой ненулевой проектор Е ? 501, что Е\ = 0. Однако при этом и Ej (Е) |=0, и поскольку Ej (Е) & ?1 ^(предложение 2.5.26, (5)), мы заключаем, что Ej (Е) т| = 0 при всех г| ^ g. Из плотности Qg в 3s и из предложения 2.5.28, (4) следует, что Ej (Е) = 0 = / (Е) Е. Далее, пусть F обозначает проектор на подпространство [SKTO'fJp], или, что то же самое, на подпространство [ЭИ'ай/ (Е) ©]. Ясно, что F е Ш п ЯК' и F > Е. Но О = Ш'Ej (Е) ш = = EWl'Wlj (Е), следовательно, EF = 0. Тем самым Е — EF = 0, и получено противоречие. Поэтому g должен быть отделяющим, а значит и циклическим, по предложению 2.5.-30.
Обратимся теперь к первому утверждению теоремы 3.2.15. Для его доказательства возьмем произвольный циклический и отделяющий вектор g ? & и положим г| = Ц*\, По лемме 3.2.17 при всех А ? 9J?+ имеем g > Л g/Ц А [|. Поэтому т) > U*АЩ А |! при всех А ? S01+, и, вновь применив лемму, видим что вектор т| — циклический и отделяющий. Кроме того, при всяком А ? Ш+ должен существовать такой оператор щ (А) = а (А) ? с || а (Л) || || А Ц, что
