Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Теория для случая алгебр
227
доказательства можно указать такое со ( S, что со (С) > 1 — е2, и если й обозначает продолжение со на Ж = СИ + Ж, то
| со (Р) |2 = | 6 (Р (И - С)) |2 < со (Р) й ((11 - С)2) < || Ц — С || S (И — С) < е2.
Принимая во внимание, что в силу выбора Р имеют место неравенства —1| А ||Р ^ ^ А ^ || А || Р, приходим к оценке | со (Л) | ^ е|| А ||.
Для завершения доказательства предположим, что полное семейство состояний S не является слабо* плотным, н придем к противоречию. Если со ?
не принадлежит слабому* замыканию выпуклого множества S, то по теореме Хана — Банаха, примененной к паре St*a и SIsa, найдется такое А = A* ST, что со (Л) >1 и со' (А) < 1 при всех со' ? S. Полагаем е = со (Л) — 1 > О, и пусть А = А+ — А_ будет разложением Л на положительную и отрицательную части, Л + и А_. Пусть — проектор на область значений Л + , принадлежащий алгебре
ЗС" = ( © яш\ (31)",
j
и пусть Е_ = Ц — ?+. Тогда со (?+) + со (Е_) = 1 и, следовательно,
0 < со (Л+) = со (Е+А+Е+) < || Л+ || со (?+).
Аналогично
0<со(Л_)<||Л_ ||со(?_).
Предыдущими рассуждениями уже установлено, что множества |со' (Л+), со' ? ? S} плотны в выпуклых замыканиях множеств <т(Л+) соответственно. Вдобавок, проведенные оценки показывают, что со (^±)/[| А± || принадлежат соответствующим выпуклым замыканиям. Тем самым имеются состояния со+ ? S, для которых
| ш(?±)ш±(Л±)-со(Л±)|< -i-.
Полагая со' = со (Е+) со+ -[- со (Е_) со_, видим, что со' ? S и
| со' (А) - со (Л) | < е.
Но так как со (А) = 1 + е и со' (А) ^ 1, то получено противоречие и, значит,
S должно быть слабо* плотным.
(2) =>- (1). Если S слабо* плотно и элемент Л = Л* не положителен, то для некоторого со ? S будет со (Л) < 0. Таким образом, S должно быть полным множеством.
После такого довольно длинного предварительного рассмотрения подмножеств состояний вернемся к изучению аффинных отображений состояний. Основной результат для С*-случая — следующее обобщение теоремы 3.2.8:
Теорема 3.2.11. Пусть S — полное множество состояний С*-алгебры 21 и ср* — афинное отображение S на S. Предположим еще, что для всякого А ? % существует такое а (21, %*)-компакт-ное подмножество КА в 21, что для любых пар col5 со2 (j S
I (ф* (®0 - ф* Ы) И) | С SUD | (й! — ш2) (В) |,
в?ка
I (Ф71 К) - Ф71 Ю) И) I < SUP I К-ш2) (В) |. (*)
в?ка
8*
228
3. Группы, полугруппы и генераторы
При этих условиях существует единственный йорданов автоморфизм ср алгебры 91 со свойством
(ф*®) (А) = со (ф (Л))
для всех со ? S и А ? Я.
Доказательство. Прежде всего заметим, что множество S слабо* плотно в Еgj и потому плотно также в топологии на Е^, индуцированной топологией
Макки т (91*, 91). Тем самым ф, и Ф71 можно единственным образом расширить по непрерывности до аффинных отображений Е^, причем оценки непрерывности
(*) распространяются на все пары сох, со2 ? Е^. Кроме того, можно, воспользовавшись йордановым разложением (см. предложение 3.2.7), расширить ф* до линейного ограниченного отображения на St*.
Далее, предположим, что А = А* ? St. Если сох, ш2 ? Е^, то разность
wi — сОп является эрмитовым функционалом и для любого В из компактного множества Ка
( В + В* \ , ( В —В* \
| (coi — ш2) (В) К К-соа)^---------g---) + К - “г) ^--------jji----)
( ( В + В* \ / В — В* \ 1
sj 2 sup (cot — со2) -----g----) > (“i — ы2) ----21----/ I ’
Переходя последовательно от К& к Кд-\-К*а, затем к самосопряженной части Ка и> наконец, к Ка U (—Ка), можно будет считать, что Ка — компактное уравновешенное подмножество в Stsa и
± (ф*(“1) — Ф* (“г)) (Л) 5$ sup (СО! — С02) (В).
в?кА
Пусть теперь г] ? Ж* — произвольный эрмитов функционал со свойством г| (Ц) = = 0. Если г) = г)! — ч)2 — йорданово разложение т), то ]] rij |) = % (D) = ri2 (И) = = ИЛгИ- Применяя предыдущее неравенство к (т^—“Пг)'!!rii II, получаем
±(Ф*Л(^Х sup 'n(fi)-
BtKA
Зафиксировав состояние со0 на St, можно всякий эрмитов функционал т] на 91 единственным образом представить в виде = Ясо0 + т)', где X = (11) ? R,
а т)' — такой эрмитов функционал, что т)' (11) = 0. Выберем в качестве со0 слабую* предельную точку последовательности
1
соп =
Ф*со,
2 п+ 1
k——tl
