Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Далее на очереди рассмотрение свойств спектральных подпространств Xе7 (Я) и (Е).
Лемма 3.2.39. Пусть U — равномерно ограниченное ст (X, F)-непрерывное представление G и Е — подмножество в G. Тогда
(1) Хи0 (Е) ?= Xй (?);
(2) UtX% (Е) = XUQ (Е), UtXu (Е) = Хи (Е), t ? G;
(3) если Я замкнуто, то
Хи (Е) = {Л е х-, ву (А) «= Е\
(без замыкания)',
(4) если Е открыто, то
Хи (Е) = Хо (Е) = V \Хи (К), Е, К компактно), еде V обозначает взятие о (X, Р)-замкнутой линейной оболочки; 9*
260
3. Группы, полугруппы и генераторы
(5) если Е замкнуто, а N пробегает множество всех открытых окрестностей нуля в G, то
Xй (Е) = П (Е + N).
N
Доказательство. (1) следует из леммы 3.2.38, (3).
(2) вытекает из леммы 3.2.38, (1) и совпадения supp ft с supp f.
(3) Требуется показать, что множество в правой части равенства а (X, F)-замкнуто. Предположим, что А принадлежит его а (X, /-^-замыканию. Если у ф Е, выберем f ? L1 (G) так, чтобы f (v) = 1 и f = 0 в некоторой окрестности Е. По лемме 3.2.38, (4), имеем при всех В из интересующего нас множества U (j) В = 0. Так как U (f) — оператор а (X, F)-a (X, /^-непрерывный, то U (f) А = 0. Следовательно, ац (A) s Е.
(4) Очевидно, Xй (Е) и V W- С другой стороны, допустим, что
Оц (А) с= Е. Как известно, L1 (G) обладает аппроксимативной единицей, состоящей из функций, преобразования Фурье которых имеют компактный носитель;
поэтому X = V ^Хи(К). Можно аппроксимировать А элементами вида U (/) А,
К ^ G
где f имеет компактный носитель К. Однако, по лемме 3.2.38, (3) , ои (U (ft А) содержится в suppf Г) ац (А) — компактном подмножестве в Е. Значит, Xй (Е) = \/к<=е Xй (К).
Наконец, для того чтобы получить включение VXй (К) s Х% (?), заметим, что при условии Оц (А) е К"s Е можно найти такую функцию f ?
? L1 (G), что f= 1 в некоторой окрестности множества /С и f = 0 в G \ Е. Тогда U (/) А = А по лемме 3.2.38, (4).
(5) Из определения Хи (Е) сразу же следует, что
Xй (Е) = [\Хи (E + N),
N
если Е замкнуто, так что, в силу (4),
Xй (Е) s Хи (Е + N) = Х% (Е + N)z= Xй (Е + N), т. е. имеет место (5).
Согласно тауберовой теореме, аи (А) = (у} тогда и только . тогда, когда UtA = (у, t) А. Получим более общий результат о концентрации спектра. В случае унитарных групп он известен под названием критерия Вейля; с его помощью можно составить интуитивное представление о понятии спектра.
Предложение 3.2.40. Пусть U — равномерно ограниченное а (X, Р)-непрерывное представление абелевой локально-компактной группы G. Следующие условия эквивалентны:
(1) То € <т (60;
(2) для всех окрестностей Е точки y0
*оУ(?ЖО};
3.2. Теория для случая алгебр
261
(3) для всех е > О и всех компактов К ? G существует компактная окрестность Е точки у0, такая что Xй (Е) Ф {0} и
\\VtA — (y0, t) А |<е[| Л I
при всех А ? Xй (Е), t ? К;
(4) существует такая сеть (последовательность, если G сепарабельна) элементов Аа ? X, что |Л0|| = 1 при всех а и
lim I UtAa — (y0, i)Aa || = 0
a
равномерно no t на компактах;
(5) для всех f ? L1 (G) выполняется неравенство
11 (Yo) I < IIU (f) \s (X) •
Если G = R и Ut = exp (iS), то перечисленные условия эквивалентны такому.
(6) — f'Yo € cr (5), т. e.
a (5) = — ia (U).
Доказательство. (1) => (2). Если Xй (E) = 0 для некоторой открытой окрестности Е точки Yq, то выберем / ? L1 (G) так, чтобы f (у0) = 1 и supp f s= Е. Тогда U if) — 0 по лемме 3.2.39, (4); тем самым / ? и То Ф- ст (U)-
(2) =*- (3). Пусть Ег — компактная окрестность точки Yo и / ? L1 (G) выбрана так, что f (у) = 1 при у ? Ev Каждому s ? К сопоставим функцию F (s) ? L1 (G), определенную соотношением
f (s) (t) = f(t — s) — (Yo, s) f (t).
В таком случае
рЪ) (у) = ((y7^)"—С^У) f (Y)-
Поскольку F (s) (Yo) = 0, то при каждом s найдется такая функция g ? L1 (G), что g (y) = 1 в окрестности Yo> 3 11^ (s) g[|i < el2. Это показывает, с учетом непрерывности отображения s ? К i—> F (s) и компактности К, что имеются такая окрестность ?2 у Yo и такая функция g ? L1 (G), что g (y) = 1 на ?2 и
II F (s) *g]|i <е при s ? К-
Пусть ? будет компактной окрестностью Yo> содержащейся во внутренности Ei Г) и пусть h — такая функция, что Л (у) = 1 в окрестности Е, а supp йе
Е Ег Г) Е2. Тогда U (h) А = А для А ? XU (Е) (лемма 3.2.38, (4)), и при Y е Ei П Е? и S ? К
F(s)*g*h(у) = ((y, s) — (То. s)) f (у) g (у) R (у) = ((у, s) — (y0, s)) й (y), откуда при s ? К
U(F{s) * g * h) = (Us — (Yo. s)) ^ (Л).
