Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, у теоремй 3.2.50 есть аналог для алгебр фон Неймана и а-слабо непрерывных групп.
Теорема 3.2.51. Пусть Зй— алгебра фон Неймана, о которой предполагается еще, что она абелева или фактор. Пусть 6 — линейный оператор с областью определения D (6) <n 2)i, плотной в а (9К, Ш*)-топологии, и пусть он ст (9К, 9К*)-ст (9R, 9Я* )-замкнут и 11 ? D (6). При этих предположениях 6 будет генератором ст-слабо непрерывной однопараметрической группы *-автоморфизмов алгебры Ш тогда и только тогда, когда выполняется один из наборов условий ((At), (Б/), (В?)), за исключением ((А2), (Б2), (В2)). Эти условия таковы:
(Al) D (б) является *-алгеброй, а 6 — симметрическим дифференцированием',
3.2. Теория для случая алгебр
273
(А2) б (1) = 0;
(Б1) (/ + аб) (D (б)) = Ж; а ? R \ {0};
(Б2) единичный шар множества аналитических для б элементов о-слабо плотен в единичном шаре алгебры ЭЛ;
(В 1) I (/ + аб) (Л) || ^ 1 Л ||, а ? R, Л ? D (6);
(В2) (/ + аб) (Л) ^ 0 влечет А 5» О при всех а ? R, Л ?
€ О (б).
Теорема остается в силе для произвольной алгебры фон Неймана, если удалить (А2) ы заменить (Б2) более слабым условием
(Б2') множество аналитических для б элементов о-слабо плотно в ЭЛ.
Доказательство. .Сначала заметим, что, согласно следствию 2.3.4 и теореме 2.4.23, всякий автоморфизм т алгебры фон Неймана автоматически оказывается a-слабо непрерывной изометрией. Поэтому a-слабо непрерывная группа автоморфизмов алгебры фон Неймана будет автоматически CJ-группой изометрий в смысле определения 3.1.2, так как пространство 501 сопряжено к 9)1* (предложение 2.4.18). Таким образом, применима общая теория CJ-rpynn изометрий, в частности теорема 3.1.19. С помощью следствия 3.2.13 можно провести доказательство примерно так же, как и для С*-алгебр, и детали мы опустим. Существенно только одно добавочное замечание: если б — дифференцирование, то аналитические для б элементы образуют *-алгебру. Следовательно, (Б2') влечет (Б2) благодаря теореме Капланского о плотности (теорема 2.4.16).
После этого описания генераторов и групп для произвольных алгебр проиллюстрируем ситуацию на примере одного специального класса алгебр. А именно, в оставшейся части данного пункта мы продолжим изучение дифференцирований РГФ-алгебр, начатое в примере 3.2.25. Используя функциональное исчисление на областях определения, как в примере 3.2.34, можно показать, что если б — замкнутое дифференцирование РГФ-алгебры 91, то существует возрастающая последовательность |9lrt} полных матричных подалгебр в 91, имеющих одну и ту же единицу И,
с U А — D (б), причем U А плотно в 91. Если б — генератор,
то 91„ можно выбрать так, чтобы U п&п состояло из аналитических для б элементов, но в этом случае неизвестно, удастся ли выбрать их так, чтобы U„9l„ было существенной областью определения для б. Этим мотивировано следующее'
Предложение 3.2.52. Если б—дифференцирование РГФ-ал гебры 91 = U определенное на D (б) = U п%п, то б допу-
скает замыкание и существуют такие элементы Нп = Нп ? 91, что
S (Л) = 8„ (Л) =' i [Нп, А ]
при всех А ? 9I„, п = 1, 2, ... .
Если (/ ± б) (U „91„) — плотные в 91 множества, то замыкание 5 дифференцирования б является генератором некоторой
274
3. Группы, полугруппы и генераторы
сильно непрерывной однопараметрической группы *‘автоморфизмов xt алгебры 21. Кроме того, для всех А ? 91
т, (А) = lim е'б« (А),
П-> оо
причем сходимость (по норме) равномерна по t на компактах.
Доказательство. Существование Нп продемонстрировано в примере 3.2.25. Согласно предложению 3.2.22, ± б, а стало быть, и ± б диссипативны. Из леммы
3.1.15 следует, что || (/ + аб) (А) || > || А || при всех A ? D (6), а ? IR. Замкнутость 6 позволяет заключить, что (I ± 6) (D (б)) = S5C, и разложением в ряд Неймана проверяется, что (I -|- аб);1 существует и || (/ + аб)-1|| 1. По теореме
3.2.50, ((А 1), (Б1), (В 1)), оператор 6 является генератором группы *-автоморфиз-мов it. Поскольку (J пЖп составляет существенную область определения б, а а 8т (А)—>• б (А) при A ? [Jr$tn, то из теоремы 3.1.28 вытекает, что
т t (А) = lim е^пА
П->оо
при всех А ? Ш, причем сходимость равномерна по t на конечных промежутках.
Теперь рассмотрим условие на последовательность Нп в 21, обеспечивающее плотность множества (/ + б) ([J п%п). Физически это условие интерпретируется как условие линейного роста поверхностной энергии конечных подсистем с возрастанием их объема (см. главу 6).
Теорема 3.2.53. Примем те же обозначения, что и в предложении 3.2.52. Предположим, что имеются такая двойная последовательность
Кп,т G 2lrt+m>
п = 1, 2, ..., т = 0, 1, ..., и такие константы М, а >0, что
II H,i — Кп,т II < Мпе-ат.
При этих условиях (I + б) (U „21J плотны в % и, следовательно, замыкание б дифференцирования б будет генератором некоторой сильно непрерывной однопараметрической группы *-автоморфизмов т. Далее, для всех А ? 21
