Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(^Q, U_tA'Q) — (ЛЙ, Л'Й)
при всех А ? 9ftsa и А' ? ЭЛ'а. Но каждый элемент Л из 931 или из ЭЛ' представим в виде А = В + iC, где В, С ? 9ftsa или 5ГО'а. Поэтому последнее соотношение верно для всех А ? 501 и А' ? Ш’, а цикличность Q приводит к равенству U_tA'Q = A'Q при всех А' ? Ш'. Отсюда A'Q ? D (Н) и HA'Q = 0. Далее, Лг|> ? D (Н), если "ф ? D (Н) и А ? D (6). Тем самым AA'Q ? D (Н), что равносильно A'AQ ? D (Н). Значит,
НА'АЯ = HAA'Q = [Н, A] A'Q = А' [Н, А ] Q = A'HAQ.
282
3. Группы, полугруппы и генераторы
Учитывая, что D (6) Я— существенная область определения для Я, а Л' ограничен, получаем HA'ty = A'Hty при всех т|5 ? D (Я), так что
<
(el1HА' — A'e,<fi)ip = i j dselsH [H, A ] el ят|) = 0. о
Это показывает, что Ut ? 3Jl и, следовательно, и^Ши} = ЭЛ.
Случай отделяющего вектора Я. (3) =>- (1). Мы установим эту импликацию неявно, через цепочку (3) =*- (6) =>- (5) (4) =>- (1). На первом шаге вновь ис-
пользуем преобразование Лапласа:
ОО
(/ ± гЯ)-1 ЗЛ+Я = j о
Второй шаг состоит в применении леммы 3.2.19 к операторам Т^ = (I ± (Я)-1. Решающий третий шаг в этой цепочке — вывод импликации (5) =>- (4). Для этого сначала заметим, что, разлагая произвольный элемент А ? ЭЛ на положительные элементы, из
(I + iH)'1 АО, = ВО
можно получить
(I + шу1 A*Q = B*Q.
Затем зафиксируем А ? ЗЛ+ и С = С* ? D (б). Введем В, полагая
(/ + iHГ1 АО = ВО.
Поскольку
8 (С) BQ + С (/ + (Я) ВО = (/ + iH) С ВО,
то С ВО ? D (Я) и (/ !- ill)-1 FO = С ВО, где F = б (С) В 1- С А. Следовательно,
(/ + iH)-1F*0 = ВСО, т. е. ВСО ? D (Я) и (/ + iH) ВСО = АСО + В8 (С) Я. Последнее соотношение переписывается в виде
j (НВ — ВН) СО = (Л — В) СО.
Теперь его можно распространить по линейности на’несамосопряженные С ? ? D (б), и тогда из предложения 3.2.55 следует, что В ? D (й)+, т. е. (I + + [Я)_1ЭД1+Я Е D (6)+ Я.
Применив те же рассуждения к (/ — iH) \ мы убедимся в справедливости
(4). Для проверки условия (1) вновь воспользуемся разложением произвольного элемента ЗЛ в линейную комбинацию четырех положительных элементов и из
(4) получим
(/ ± iH)'1 ЗЛЯ Е D (6) Я.
Поэтому
3ЛЙ ? (/ ± iH) D (6) Я = (/ ± 6) (D (6)) Я Е ЗЛЯ.
Поскольку вектор Я — отделяющий, последнее условие эквивалентно условию
(I ± 6) (D (й)) = ал.
Но согласно следствию 3.2.56 пространственное дифференцирование 6 обладает о (ЭЛ, ЭЛ*)-замыканием и
II У + ссб) (А) I > || А |1
3.2. Теория для случая алгебр
283
при всех А ? D (6) и а ? R. Сопоставив все эти факты, мы убеждаемся в a (2R, Ш?*)-непрерывности резольвенты (/+ аб)'1, так что б будет о (5Ш, 9Л*)-замкну-тым. Теперь из теоремы 3.2.51 следует (1).
В процессе доказательства теоремы мы фактически получили для случая Н ^ 0 еще и
Следствие 3.2.60. В предположениях теоремы 3.2.59, при Н О эквивалентны следующие условия'.
(1) eitHme-itH = 3К, t ? R;
(2) eitH G ЗЯ, t ? R;
(3) eitHA'Q = A'Q, А' ? Ж, t ? R;
(4), (4') e""3WsaQ ?= aWsaQ, (e“"TlsaQ ?= 3KsaQ), t ? R.
Доказательство. Ясно, что (1) => (4) =>- (4'), а доказательство импликации
(3) =>• (1) в теореме 3.2.59 содержит цепочку (4') =>• (3) =>• (2) =>• (1).
Условия, собранные в этом следствии, типичны для ситуаций, когда 0 и изучаются основные состояния; отметим, что условия (2) и (3) заведомо не могут выполняться, если вектор Q — отделяющий.
Заметим еще, что в предположениях теоремы 3.2.59 можно исключать требование на D (б) Q, если при наличии отделяющего вектора ?2 нас интересуют лишь эквивалентности (1) -фф- (4) и
(2) (3)(5) <=>-(6). Более того, без предположения, что
D (6) Q — существенная область определения Н, любое из эквивалентных условий (2), (3), (5) или (6) гарантирует по теореме 3.2.18, что отображения А ? Ti+ t—> at (А) (j 9К+, t (j R, заданные формулой
ettH AQ = at (A)Q,
расширяются до однопараметрической группы йордановых автоморфизмов алгебры 9№. Если ЗЯ — фактор или абелева алгебра, то эти автоморфизмы будут автоматически *-автоморфизмами, согласно следствию 3.2.13, и тогда
ос* (Л) = eitH Ae~iiH.
Но для произвольной 3R условие существенной самосопряженности Н на D (б) Q является ключевым при выяснении того, образуют ли at группу *-автоморфизмов. Дело не в том, что это условие было использовано нами в доказательстве, — можно привести контрпримеры, когда без него нельзя обойтись. С другой стороны, следующая теорема (теорема 3.2.61) демонстрирует, что такое условие почти достаточно для получения группы ^автоморфизмов и без предположения об инвариантности 27t+fi относительно eitH. Эта теорема обобщает теорему 3.2.59 применительно к случаю отделяющего Q. Подчеркнем, что здесь не делается явного предположения о сг-слабой плотности области определения б.
