Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь Р проектирует ф = ®%L._00$n на нулевую компоненту^ф0 = §. Тогда для Л ? 91, Л ^^-_xUnn (Ап), имеем РАР* = Л0. Кроме того,
eitHР = PeltH. Выберем теперь Л ? 5Ш. Введем В = (А) е~itH
Пусть
ОО
В~ ? Unn(Bn), в„е ЯЛ.
П**—ОО
3.2. Теория для случая алгебр
293
— его разложение. Тогда •
eitHAe~itH = eitHPn (Л) P*e~iw = PeitRn (Л) e~itHP* = РВР* = S0 ? 9Л.
Тем самым при всех t ? R мы имеем eliH<SSle~li^ — Ш. Этим доказательство теоремы 3.2.61. завершено.
Замечание 3.2.66. Одним из следствий теоремы 3.2.61, точнее леммы 3.2.62, является такое утверждение. Из предположений:
(1) ЗЛ — алгебра фон Неймана в гильбертовом пространстве §,
(2) Я — циклический вектор, задающий след на ЗЛ, т. е.
(Я, ABQ) = (Я, В АО), А, В е ЗЛ,
(3) б — пространственное дифференцирование ЗЛ, которое выполняется таким оператором Я = Я*, что НО = О и D (б) Я служит существенной областью определения для Я, следует, что
еннШе~нн = ЗЛ
при всех t ? R. Отметим, что в данном случае Я автоматически окажется отделяющим для ЗЛ, так как если ЛЯ = 0 и В ? ЗЛ, то
I А ВО f = (Я, В*А*АВО) = (Я, ВВ*А*АО) = 0
и равенство А — 0 следует из цикличности Я. В рассматриваемом случае А = I, так что наше следствие вытекает уже из леммы 3.2.62. Предположение (3) можно ослабить, допустив, что б ¦— это отображение А ? D (6) = ЗЛ н-б (Л) ? Ш, где — множество всех операторов, присоединенных к ЗЛ и содержащих в своей области определения вектор Я. Для такого обобщения существенно иметь в виду, что У1 самосопряжено и З^ЗЛ <= У1. Самосопряженность вытекает из наличия следа. Действительно, пусть X ? и X = U\X\ — его полярное разложение. Тогда U ? ЗЛ и | X | присоединен к ЗЛ, по лемме 2.5.8. Но если Еп — спектральный проектор для | X |, отвечающий промежутку [0, п], то
I ХЕпО || = || | X | ЕпО || = I Еп | X | U*О I = || ЕпХ*О ||,
благодаря следовому свойству Я. Значит, Я ? D (X*) и || Х*Я || =
— I ЛГЯ [|. Таким образом, самосопряжено. Очевидное включение ЗЛ9? ? 91 дополняется следующим из самосопряженности 5КЗЛ = 91. Поэтому имеют смысл свойства дифференцирования
б (АВ) = б (Л) В + Лб (В), б (А*) = б (Л)*.
Доказательство указанного обобщения можно будет провести, незначительно видоизменив теорему 3.2.59, с тем чтобы установить эквивалентность свойства порождать группу автоморфизмов свойству сохранения положительности
(/_± iH)-1 ЗЛ+Я = Щ2.
294
3. Группы, полугруппы и генераторы
Помимо этого, в доказательстве леммы 3.2.62 придется прямо вычислять значение (й, б (/) й).
Если в теореме 3.2.61 считать алгебру Tt абелевой, то речь фактически идет о глобальном существовании решений для некоторого класса дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения такого типа встречаются в формулировке Гамильтона— Лиувилля классической механики. Проиллюстрируем это обстоятельство примером.
Пример 3.2.67. Пусть X — отделимое локально-компактное пространство и ц, — заданная на нем вероятностная мера. Например, X могло бы представлять фазовое пространство частиц в классической механике, а |г описывать распределение вероятностей для их координат и импульсов. Если t i—з- Tt — непрерывная группа сохраняющих меру гомеоморфизмов X, то Tt определяет сильно непрерывную группу * автоморфизмов С0 (X):
(atf) (х) = / (Ttx)
при / (г С0 (А-). Реализовав С0 (X) как С*-алгебру операторов умножения в гильбертовом пространстве § = L2 (X; djx), имеем
at (/) = UtfU*u
где t I—-> Ut — сильно непрерывная унитарная группа, действующая на г|1 ?
d L- (X; d[i) согласно формуле
(Uti') (х) = г|1 (7».
Выберем в качестве й функцию, равную единице. Тогда
со (/) = (Q, /Q) = j d[i (х) f (х)
х
и выполнено условие инвариантности UtQ = fi. Если б — генератор группы а/, то D (б) ? С0 (X) ?LJ (X; dp) и область D (б) инвариантна относительно Ut-
Отождествив D (6) и D (§) Q, убеждаемся, что D (<5) Q будет существенной об-
ластью определения для самосопряженного генератора Я группы Ut-
Более общим образом, можно отправляться от группы U—>Тt сохраняющих меру борелевских автоморфизмов, такой что при всех / ? L°° (X; d[i) и g ? ? L1 (X; d[i) непрерывны функции
t ь->' J d\i(x)f(Ttx)g(x).
X
Тогда формулой
(atf) (x) = / (Ttx)
задается a-слабо непрерывная группа *-автоморфизмов алгебры фон Неймана L°° (X; dfi). Как и раньше, (/) = UtfU/, и генераторы б и Я групп at и Ut обладают тем свойством, что D (б) (=Z) (б) Q) будет для Я существенной областью.
С помощью теоремы ' 3.2.61 и замечания 3.2.66 мы получим и обратное утверждение. Если в существенном самосопряженный оператор —гб, действующий из D (б) Е L°° (X; djx) в L2 (X; djx), обладает свойствами
