Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(I) прообразом каждой точки из К2 служит замкнутое множество в Х2,
(II) образами открытых множеств являются борелевские множества, то существует борелевское отображение, g: Y2 -* Х2, для которого/(g (у)) = у при всех у ? Y2. (См. замечания и комментарии.) Отображение g, о котором идет речь во втором утверждении, называют борелевским сечением.
Эти результаты мы применим, рассматривая в качестве Х2 пространство °U (ЯЛ), снабженное сильной* топологией (которая на °U (ЭЛ) эквивалентна слабой и сильной топологиям, как нетрудно проверить). Поскольку ЭЛ* сепарабельно, Х2 оказывается польским пространством. Всякий автоморфизм ЭЛ имеет сопряженный в ЭЛ* (теорема 2.4.23), поэтому можно группу Inn (ЭЛ) внутренних автоморфизмов SOt рассматривать как подмножество в 3? (ЭЛ*)—множестве ограниченных линейных операторов на ЭЛ*. Если снабдить 3? (ЭЛ*) топологией поточечной сходимости по норме, то каноническое отображение /2: Х2 = У2 =
н Inn (Ж) непрерывно, так что условие (I) в (2) выполняется. С тем чтобы проверить выполнение условия (II), сначала рассмотрим факторотображение /3: °U (ЭЛ) -> aU(^K)laU (Q), где 01 (3) — группа унитарных операторов в центре
3 = ЗЛПЗЛ,‘ Снабдим °U (Ш)/^ (Q) фактортопологией; тогда отображение/3 непрерывно и открыто. В частности, Хг = °il (9Л)/‘?/(3) оказывается аналитическим борелевским пространством. Аналитическим борелевским пространством является и Y-y 5 Y2 = Inn (ЭЛ) = /2 (<2/(ЭЛ)). Каноническое отображение/-!: Хг = = °U (ЭЛ)/'?/) (3) —>- Kj = Inn (ЭЛ) непрерывно и взаимно-однозначно, поэтому из (1) следует, что Д — борелевский изоморфизм. Так как /3 переводит открытые множества в открытые, а Д переводит открытые множества в борелевские, то образами открытых множеств при отображении /2 = /х°/3 будут борелевские множества. Следовательно, /2 удовлетворяет условиям (I) и (II) из (2). Поскольку t\—>a.t — группа о-слабо непрерывная, отображение t,—?- ajf ? 3? (ЭЛ*) слабо, а потому и сильно непрерывно, согласно следствию 3.1.8. Тем самым t\—непрерывно в топологии поточечной сходимости по норме для 3? (ЭЛ*). Следовательно, ссылкой на приведенное выше утверждение (2) устанавливается, что существует такое борелевское отображение Ri—5- Wt ?
6 °U (ЭЛ), что
§ta__t (А) = W'tAW't*, А е 9Л, t б R.
Для того чтобы получить оценку на Wt, мы повторим предыдущие рассуждения, полагая
Y2 = Yi = Inne (ЭЛ) = {а; а ? Aut (ЭЛ)> || а — i [| ^ е},
Х2 = °йЕ, (ЭЛ) = {(/; U С °U(%Л), Ц(/ —q<e'},
где е'= {2 (l — 1/^1—е2/4)}1//2. Тогда У2 будет замкнутым подмножеством в Inn (ЭЛ), Х2 — замкнутым подмножеством в °U (ЭЛ), и по теореме 3.2.71 и следующему за ней замечанию Y2 = f2 (Х2). Применив вновь утверждение (2), мы убедимся в существовании борелевского отображения t ? [—б, б ].—> W'i ?
б (ЭЛ), и при каждом t этими Wf выполняются Для завершения до-
казательства остается положить
[ W"t при 11 К б,
Wt =
\ W'f при 111 > б.
302
3. Группы, полугруппы и генераторы
Теперь мы хотим видоизменить отображение t н—> Wt, полученное в предложении 3.2.72, с тем чтобы модифицированное отображение t ь-Wt удовлетворяло соотношению для 1-ко-циклов
Wt+3 = Wtat {Ws).
Отметим, что с аналогичной ситуацией мы уже сталкивались в теореме 2.7.16 и что у рассматриваемой здесь теоремы есть другие варианты, интересные также в случае, когда at = i при всех t (см. замечания и комментарии).
Теорема 3.2.73. Пусть 9JJ— алгебра фон Неймана с сепарабельным преддвойственным пространством Ш%, и пусть а, |3 — две о-слабо непрерывные однопараметрические группы *-автоморфизмов 3№. Предположим, что существуют такие 6 > 0 и Осе < |/ 71/18 «=; 0.47, что
I — at || < е при | /1 с ft.
Тогда существует о-слабо непрерывное отображение t ? R н—>
н—> ? Щ (3№) со свойствами:
= Гtat (Г,), /, s ? R,
Р,(Л) = Ytat(A)T*t, t? R, А?Ж,
|| - 1|| < 10 {2 (1 - у 1 - е2/4)}1/2 = 5е + О (е2) при |/|<б/4.
Доказательство. Согласно предложению 3.2.72, определено такое борелев-
ское отображение t ? R i—> Wt (i (Ш), что
P, (A) = Wtat (A) W*t, A G Ш, t ? R,
и при j 11 ^ 5
Ц^-ЧКе'.
где e'“ = 2 (l — УI — e2/4). Ввведем
z(s, 0 = ^sas(ir,)ir-;,.
В таком случае
2(s, t)Az(s, <)* = (Psa_s) (asP,a_,a_s) (Ps+<oc_s_^)“1 (A) = A.
Следовательно, z (s, t) ? ^ (3)> где 3 = SJi Г) 3Ji'. Непосредственно проверяется, что (s, t) ? R2 t—z (s, t) ? °U (3) будет 2-коциклом, т. e. при всех s, t, и ? R
z (s, .0) = z (0, t) = 1, z (s, t) z (s + t, u) — as (z (t, и)) z (s, t + u).
