Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем, не ограничивая общности, считать, что 9Л имеет стандартную форму, так что, согласно следствию 2.5.32, существует группа t \—> Ut на §>, выполняющая а:
щ (А) = UtAUt, t?R, A^m.
Введем Vt = T(Ut- Поскольку Г;— коцикл, то ti—> Vt является унитарным представлением R и
Р t(A) = VtAVh t?R, А?Ш-
При | П < 6/4 имеем
II VtU_h - 11 || = ||Г, - 11 || < е' < 1^2
0/4
и Й = 4б-1 | dt VtU_t ?Ш. Значит, в силу предложения 3.2.70, существует
0
такой унитарный W что || Vt — WUtW* || = О (t). Полагая у (Л) = WAW* И at = ущ у-1, приходим к оценке
|| Р( — а/ |К 2 || 1// — WUtV* || = О (t).
3.2. Теория для случая алгебр
307
Следовательно, по предложению 3.2.69, на Ш имеется такое ограниченное дифференцирование б', для которого
6р = ба -[- б' = 7б«7 1 + б' = 7 (8а 4" б) 7 здесь б = 7_1б'7. Отсюда немедленно следует, что
at — ущу-1 = exp (tba) — exp (<бр) -f exp (%) — exp (t (Sg — S')) и потому
II a._tyat — 7II = II at — yaty'11| = ||a< — pf || + О (t).
Тем самым оценка в (2) вытекает из оценки в (1), и наоборот.
Оценка на \\W — И || следует из оценки на [| — И || и предложения 3.2.70.
В заключение заметим, что можно пояснить смысл обоих аналогичных утверждений об аппроксимации (предложения 3.2.70 и теоремы 3.2.75), сопоставив каждое из них со следующими двумя специальными результатами. Сначала рассмотрим сравнение двух унитарных групп U, V в гильбертовом пространстве Если
I! Ut -Vt\ - О {t), * - о,
то по теореме 3.1.38 генераторы групп U и V отличаются на ограниченный оператор. Если, однако,
\Ut - Vt\ <1/2 -ех
при всех t ? R, то обязательно найдется унитарный оператор W, такой что
Ut = WVtW*.
Для доказательства этого выберем на R инвариантное среднее М (определение и обсуждение свойств инвариантных средних см. в пункте 4.3.3) и зададим Q равенством ?2 = М (UV~l). Если 31 — алгебра фон Неймана, порожденная семейством \UtV_t\ t ? R}, то (корректно определенный) оператор ?2 входит в Ш и в числовой области значений Q нуль не содержится. Следовательно, частично изометрический оператор W в полярном разложении Q = W\ ^ | оказывается унитарным. Кроме того, соотношение
usutv_, = us+tv^tvs
влечет UsQ = QKS, и теперь несложно проверить, что UtW = = WVt.
Аналогично рассматривается случай двух ст-слабо непрерывных групп *-автоморфизмов а, |3 алгебры фон Неймана ЗЯ. Если условие (1) теоремы 3.2.75 выполнено при всех t ? R, т. е. если ^=00, то
Р< = 7^7_1>
где у — внутренний автоморфизм Ш. Это устанавливается соединением доказательства теоремы 3.2.75 с предыдущим обсуждением случая унитарных групп.
308
S. Группы, полугруппы и генераторы
Таким образом, в каждой из' двух указанных утверждений об аппроксимации мо'жно связывать «подталкивание», т. е. ограниченное возмущение, с поведением типа О (t), а «подкручивание», т. е. автоморфизм, считать связанным с близостью по норме при всех t.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ Пункты 3.1.1 и 3.1.2
Стандартное руководство по теории полугрупп — книга Хилле и Филлипса [ [Hil 1]], в которой изложено состояние теории вплоть до 1956 г. Главы, посвященные этой теории, а также результатам, полученным после 1956 г., содержатся в [[But 1]], [[Kat 1]], [[Ree 2]], [ [Rie 1]], [[Yos 1]].
Определение полугруппы в [ [Hil 1 ] ] отличается от нашего тем, что условие U0 ~ I там не накладывается, и это приводит к подробному исследованию поведения U в нуле при различных условиях непрерывности вне нуля. Тем не менее основным объектом изучения в [[Hil 1]] являются С0-полугруппы, как мы их определили. Понятие С5-полугруппы или а (X, Х*)-непрерывной полугруппы, введенное де Jley [Lee 1], исследовано в [[But 1]]. Следует подчеркнуть, что оно не совпадает с понятием сопряженной полугруппы, рассмотренным в [[Hil 1]]. Если для С0-полу-группы U в банаховом пространстве X ввести сопряженную Cq-полугруппу U* в X*, перейдя к сопряженным операторам, то сужение U* на слабо* плотное подпространство Хо в X* будет сильно непрерывно. Это сужение U* на Хо, являющееся С0-полугруппой, и названо в [ [Hil 1 ] ] сопряженной к U полугруппой.
Теория равномерно непрерывных полугрупп также изложена в [[Hil 1]]; создателем ее считается Нагумо [Nagu 1].
Результат следствия 3.J.8 об эквивалентности свойств слабой и сильной непрерывности и дифференцируемости для С0-полу-групп впервые получил Иосида [Yos 1 ], который также построил теорию равностепенно непрерывных полугрупп, имеющую много общего с нашим рассмотрением ст (X, /^-непрерывных полугрупп.
Вариант теоремы 3.1.10 для С0-полугрупп был независимо доказан в 1948 г. Хилле [[Hil 2]] и Иосидой [Yos 1]. Первый алгоритм вычисления экспоненты принадлежит Иосиде, а второй — Хилле. Лемма 3.1.11, позволяющая переходить от одного алгоритма к другому, получена значительно позже Черновым [Che 1 ]. Полную характеризацию генераторов С0-полугрупп, т. е. вариант следствия 3.1.12 для сильно непрерывного случая, почти одновременно дали Феллер [Fel 1], Миядэра [Miy 1] и Филлипс [Phi 1] в 1953 г.
