Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Замечания ti комментарии
309
Понятие диссипативного оператора ввели в 1961 г. Люмер и Филлипс [Lum 1 ]. Ими установлены основные свойства этих операторов (леммы 3.1.14 и 3.1.15) и охарактеризованы сжимающие Co-полугруппы (теорема 3.1.16). Можно доказать, что для плотно определенного оператора 5 в банаховом пространстве эквивалентны следующие условия: (1) Операторы ± 5 диссипативны и (2) |(/ + aS) (Л) || || Л 1 при всех Л ? D (5), а ? R
(см. [[Dun 1 ]], том 1, V. 9.5). Вариант теоремы 3.1.19 содержится также в [Lum 1 1: если S — замкнутый диссипативный оператор в банаховом пространстве X н для всех Л из некоторого плотного в X подмножества || SM Ц1'" = о (я) при п -v оо, то S порождает Co-полугруппу сжатий. Другой вариант этой теоремы был доказан Нельсоном [Nel 1 ] для унитарных групп в гильбертовом пространстве.
Интересная характеризация областей определения генераторов Со-полугрупп, составляющая содержание предложения 3.1.23, принадлежит де Леу [Lee 1]; она основана на более ранних результатах Бутцера [[But 1 ]]. Это предложение особенно полезно в теории аппроксимации, где оно позволяет получить решение так называемой проблемы насыщения (см. [[But 1]], гл. 2).
Пункт 3.1.3
Теорему 3.1.26 в С0-случае часто называют теоремой Троттера—Като. Впервые она была доказана Троттером [Tro 1], а впоследствии доказательство было упрощено Като [Kat 1].
Теорема 3.1.28 принадлежит Курцу [Kur 1], а для частного случая унитарных групп в гильбертовом пространстве тот же результат независимо получили Глимм и Джаффе [Gli 5].
Алгоритм, содержащийся в теореме 3.1.30, предложен Черновым [Che 1]; он является прямым обобщением алгоритмов для произведения полугрупп, впервые изученных Троттером [Тго 21. Эти алгоритмы, содержащиеся в следствии 3.1.31, часто называют формулами Троттера для произведения полугрупп. В работе Чернова [Che 21 обсуждается их применение для определения суммы неограниченных операторов.
Пункт 3.1.4
Теории возмущений посвящена монография Като [[Kat 1]]. Частично она также изложена у Рида и Саймона [ [Ree 2]], Рисса и Сёкефальви-Надя [[Riel]], Хилле и Филлипса [ [Hil 1 ] ].
Теорема 3.1.34 доказана Браттели и Кисимото [Bra 11 ], а контрпример, упомянутый в замечании к теореме, можно найти в статье Йёргенсена [J0r 1].
зю
3. Группы, полугруппы и генераторы
Пункт 3.1.5
Сравнение групп, которому посвящен этот пункт, может рассматриваться как одно из направлений обобщения ряда результатов теории аппроксимации, например предложения 3.1.23. Начало такому направлению положили работа Бухольца и Робертса [Вис 1 ] и последующая статья Робинсона. Предложение 3.1.35 и теоремы 3.1.38, 3.1.41 взяты из [Rob 6]. Теорема 3.1.36 содержится в статье Браттели, Хёрмэна и Робинсона [Вга 4].
Пункт 3.2.1
Принадлежащую Вигнеру трактовку симметрий и первоначальное доказательство результатов примера 3.2.14 читатель найдет в [ [Wign 1 М, а более современный вариант изложения — в [Sim 1]. Исходный алгебраический вариант предложения 3.2.2 доказан Джекобсоном и Риккартом [Jac 1], а его С*-версия принадлежит Кадисону [Kad 4], [Kad 5]. Неравенство из предложения 3.2.4 в случае самосопряженного А известно под названием неравенства Кадисона [Kad 6 1, а приведенный его вариант, доказанный Стайисприигом [Sti 1 ], использует идеи, высказанные Наймарком [ [Nai 1]]. Стёрмер доказал в 1963 г., что неравенство это остается в силе, если ф (А) предполагается нормальным [St01 ]. Предложение 3.2.5 установили Руссо и Дай |Rus 1], а Робертсон показал [Rober 1 ], что выпуклая оболочка унитарных элементов содержит открытый единичный шар. Приведенное нами краткое доказательство заимствовано у Педерсена [[Ped 1]]. Превосходный обзор свойств положительных отображений дан в [Sto2]. Что касается классификации произвольных положительных отображений, то это задача необъятная, она сложна даже в случае, когда ?t — алгебра 2X2-матриц, а 23 — алгебра 4х4-матриц [Wor 2].
Йорданово разложение эрмитовых функционалов из двойственного пространства С*-алгебры (предложение 3.2.7) восходит к работе Гротеидика [Gro 1]. В статье [Kad 51 Кадисон ввел понятие полного семейства состояний (определение 3.2.9) и доказал предложение 3.2.10 и теорему 3.2.11; наши доказательства этих утверждений отличаются от первоначальных. В той же статье приведены варианты следствий 3.2.12 и 3.2.13. Пример, показывающий неприменимость следствия 3.2.13 для произвольных алгебр фон Неймана, приведен в [Вга 3].
Тот факт, что все автоморфизмы 3? (ф) внутренние, является отличительной особенностью S (§), которая не присуща никакому другому фактору. Классификация автоморфизмов гипер-финитных факторов ти-па Пх и получена Конном [Con 5, 6]. Им также построен удивительный пример фактора, который не
Замечания и комментарии
311
антиизоморфен самому себе [Соп 7]. Отметим, что алгебра фон Неймана в стандартной форме антиизоморфна своему коммутанту (этот антиизоморфизм осуществляется отображением A i—?¦ 1-9- JAJ*). В примере Конна фактор в стандартном представлении неизоморфен своему коммутанту, поэтому он не может быть антиизоморфен самому себе.
