Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
нусе и I W —• /1| ^ V2 — 8Х.
3.2. Теория для случая алгебр
299
Следующей нашей целью будет получение аналога предложения 3.2.70 для а-слабо непрерывных групп автоморфизмов алгебры фон Неймана. При этом будет применен приведенный выше результат для унитарных групп, но кроме него понадобятся еще три вида дополнительных сведений, из которых по меньшей мере два представляют и самостоятельный интерес. Во-первых, мы рассмотрим, как соотносятся между собой два автоморфизма алгебры фон Неймана, близкие по норме. Во-вторых, мы получим один результат из теории меры и, в-третьих, один результат когомологического плана о совместной унитарной выполнимости двух групп автоморфизмов.
Автоморфизмы алгебры фон Неймана 9К являются изометрическими операторами, поэтому || а — р | = (| сф-1 — i || для любой пары автоморфизмов а, р. Значит, при изучении следствий из условия близости по норме операторов аир достаточно рассматривать один-единственный оператор оф-1. Очевидно, || а — 11 <
< j| а [| + [| 11 = 2, и замечательным образом из условия || а — i | <
< 2 следует, что а — внутренний автоморфизм. Тем самым множество Inn (Ш) внутренних автоморфизмов 3)? оказывается в точности связной компонентой тождественного отображения i в множестве Aut (2)?) ^-автоморфизмов 3JJ, если Aut (Ж) наделено топологией нормы.
Теорема 3.2.71. Пусть а — автоморфизм алгебры фон Неймана ЭЙ. Если
I а —*i || < 2,
то а — внутренний автоморфизм. Кроме того, в таком случае среди унитарных операторов, выполняющих а, найдется U ? Ш, спектр которого лежит в полуплоскости
| г; Re 2 (4 — || а — i Ц2)1/2 j,
т. е. справедлива оценка
U ?7 — 1 || <{2(1 - у 1 -||a-i|f/4)}1/2.
Замечание. Условие на спектр U можно выразить более наглядно, сказав, что ст (U) лежит на дуге единичной окружности, середина которой находится в точке 1, а концы делят пополам дуги, заключенные между 1 и точками, удаленными от 1 на расстояние || а — 11|. Указанная в теореме оценка для \\ U — И || неулучшаема.
Мы не станем доказывать теорему 3.2.71, заметим только, что если I а — 11 < |/3, то, привлекая технику алгебр Ли, можно показать, что оператор б = log а, определенный с помощью контурного интеграла, будет дифференцированием алгебры Ш. Со-
300
3. Группы, полугруппы и генераторы
гласно следствию 3.2.47, имеется представление 8 (А) = 1Н, А ], где Н ? 'Ж. поэтому а (А) = ехр (б) (А) — енАе~И. Если U обозначает унитарную часть полярного разложения ен, то нетрудно получить выражение а (А) = UAU*.
Для доказательства теоремы при || а — 11| < 2 и для установления оценки на || U — Ц [| необходим более длинный путь рассуждений (см. замечания и комментарии к главе).
Если аир — две а-слабо непрерывные однопараметрические группы автоморфизмов алгебры фон Неймана ЗЛ и |[ at — $t\\ <2 при малых \ t\, то при таких t автоморфизмы yt = — вну-
тренние, по теореме 3.2.71. Многократно используя тождество для коциклов
Y^+s = Vt(atV>a-t)>
можно убедиться, что yt будут внутренними при всех t ? R. Тем самым при каждом t существует такой оператор Wt ? ЗЛ, что р; (А) = Wtai (A) W], А ? ЗЛ. Если группа а выполнима посредством сильно непрерывного унитарного представления t > Ut, то хотелось бы так выбрать t Wt, чтобы и t > WtUt тоже было сильно непрерывным унитарным представлением, и обеспечить, таким образом, унитарную выполнимость группы р. В частности, мы хотим получить
Wt+s Ut.s = WtUtW sus,
или, равносильно,
Wt+5 = Wtat{Wb).
В качестве первого шага докажем, что отображение t > Wt можно выбрать борелевским.
Предложение 3.2.72. Пусть at, —две а-слабо непрерывные однопараметрические группы *-автоморфизмов алгебры фон Неймана ЗЛ с сепарабельным- преддвойственным ЗЛ*. Предположим, что при некоторых 0 « ё < 2 и б>0
II Р» — [I < 6,
если |?| < б. Тогда существует такое борелевское отображение t н-> Wt из R в группу 41 (ЗЛ) унитарных элементов ЗЛ, что
р, (А) = Wtat {A) WJ, А е ЭК, / € R.
и при ] t \ < б
II Wt - 11II « {2 (1 - „ Г=^Т4)}1/2.
Доказательство. Существование при каждом / оператора Wt с требуемыми свойствами следует из замечаний, высказанных перед формулировкой предложения, так что остается лишь установить свойство борелевости. Напомним, что топологическое пространство называется польским, если оно гомеоморфно полному сепарабельному метрическому пространству. Подмножество польского простран-
3.2. Теория для случая алгебр
301
ства называется аналитическим, если оно является непрерывным образом польского пространства. Нам понадобятся следующие два результата:
(1) Если Xj и Kj — аналитические борелевские пространства и — взаимнооднозначное борелевское отображение на Ylt то /: — борелевский изоморфизм.
(2) Если Х2 — польское, а К2 — борелевское пространство и /2: X2-+Y2 такое отображение на Y2, что
