Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
коммутирует с А1/2). Но тогда с помощью тех же рассуждений, 'которые были использованы в части доказательства теоремы 3.2.59, относящейся к импликации (3) => (1) в случае отделяющего вектора Q, мы приходим к выводу: В ? D (б) и А = (/ + аб) (В).
Теперь распространим результат этой леммы на произвольные собственные элементы группы модулярных автоморфизмов.
Лемма 3.2.63. В предположениях теоремы 3.2.61, если выполнено условие (2) и если для А ? ЗЯ существует К > 0, такое что
of (Л) = Г*А
при всех t ? R, то
а е r (/ + «в)
при всех а. ? R \ {0}.
Доказательство. Пусть М2 обозначает алгебру фон Неймана всех 2x2-матриц, действующую в гильбертовом пространстве матриц того же размера с нормой Гильберта—Шмидта || А ||| = 2г/Ии|2. Алгебра фон Неймана Ш ® М2 действует в гильбертовом пространстве ф ® ф2. Пусть {Eij}t .=1 2 — матричные единицы для М2. Рассмотрим
Q = Q ® (?"11 ^^^22) ? Ф ® С’а-
Вектор ?2 — циклический и отделяющий для 331 ® Л/2; соответствующий ему векторный функционал со задается формулой
со ^ ^ Bij ® ?1/^ = со (Вп) -j- ^со (В22),
где В = ZijBij <g> Eij ? Ш ® М2.
Если ои — модулярная группа, ассоциированная с й, то легко проверить,
что
а&/Ви ви\/ °?(Вп) {В12)\
°* Ui В J \Ь«а?(В21) o“(B22) J
при Bij 2)1. Эту выкладку мы подробно проведем в более общей ситуации, доказывая теорему 5.3.34. В частности., если of (Л) = XilA, то
of (Л ® ?[2) = Л ® Е^2,
т. е. Л ® Е1г принадлежит централизатору для 5. Рассмотрим теперь дифференцирование б алгебры 331 ® М2, которое выполняется посредством оператора Я = Я ® /. Ясно, что
ZJ tij® Eij; bj <= О (Я) J и при g,-j- g D (Я)
Я ( ® ?, Л = ЯЕу ® Eij.
D (Н) =
3.2. Теория для случая алгебр
289
Отсюда нетрудно получить, что
D (б) = f В = J] Bij ® E(j; Яг/ ? ?>(б) 1,
\ ч J
б / ^ б0- ® ?гД = ? б(б^) ® ?¦;/•
\ ij / i/
Очевидным образом, Q ? D (Н) и //Q = 0. Кроме того,
D (б) Я = D (g) Q ® ф2,
чем доказано, что D (б) Q — существенная область определения для Н. Из приведенного выше выражения для а“ вытекает, что б об, поэтому iHhlt =
= ДltiH, где Д — модулярный оператор, ассоциированный с парой (ЭЛ®Л42, Й). Применив лемму 3.2.62 к ЭЛ ® М2, Як Н, убеждаемся, что А ® Е12 ? ? R (/ + аб), или, эквивалентно, А ? R (/ + аб) при а ? R \ {0}.
Теперь мы можем доказать эквивалентность (2) <=> (1) в том специальном случае, когда при некотором Т Ф 0 автоморфизм ст? — внутренний.
Лемма 3.2.64. Примем предположения теоремы 3.2.в сочетании с условием (2) той же теоремы.'Предположим еще, что существуют число Т > 0 и унитарный оператор U ? ЗЯ, такие что
ст? (А) = UAU*, А е ЗЯ, причем U ? D (б), а
б ({У) = 0.
Тогда
еинШе~нн = ЗЯ
при всех t (j R.
Доказательство. Допустим сперва, что (/ = Ц, т. е. о“ (Л) = А при всех
А ? ЯЛ. Так как о“ — периодическая группа, то, согласно лемме 3.2.39, (4), собственные подпространства
Шп = {Л'? Ш; а“ (А) = е~1 (2л'г/7')<}, n ? Z,
порождают сг-слабо плотную подалгебру в ЯЛ. По лемме 3.2.63
U mnS=R(I + a8).
п? Z
Следовательно, R (I + аб) плотно, и из (*) вытекает, что
еннШе-ин = ЯЛ, t ? R.
Далее перейдем к случаю (А) = UAU* с-б (U) = 0. Поскольку со (UAU*) = = со (ст“ (Л)) = со (Л) при Л ? ЭЛ, U должен принадлежать централизатору ЯЛМ для со. Этот централизатор является алгеброй фон Неймана, значит, должен найтись оператор А = А* ?9Л м с || Л || ^ п, для которого U = etA. Введем
В=еА/Т.
290
3. Группы, полугруппы и генераторы
Оператор В положителен и имеет ограниченный обратный, BlT = U И В ?Ша. Кроме того, поскольку [Я, ?/] =0, то [Н, 5^] = 0 при всех (5 ? С. В частности, 5^ ? D (б). Положим
Q' = B~i/2Q.
Операторы В1'2 и В~1'2 ограничены, поэтому вектор Q' — и циклический, и отделяющий для 2)1. Соответствующее состояние на ЯЛ обозначим со', т. е. ш' (Л) = = (O', AQ'). При всех / f R и Р f С выполняется равенство <т“ (5^) = В^’ отсюда легко получить, что равенство
at (А) = В~по? (А) ВИ
определяет однопараметрическую группу автоморфизмов ЯЛ и со удовлетворяет в смысле определения 5.3.1 условию КМШ по отношению к этой группе. Согласно теореме 5.3.10, группа а = есть модулярная группа, ассоциированная с (o'. Но в таком случае
а“' (А) = B~iT(A) BiT = U* (UAU*) U = А
при всех А ? ЯЛ, т. е. аш< периодична. Поскольку В1'2, В~1'2 ? D (б), то D (б) Я' = = D (б) Я, так что D (б) Я' — существенная область определения для Н. Далее, б (В~‘() = 0 при всех t и б 0ст“ = сг“ о б; следовательно, б ° а“ =а“' об,
