Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3.2.61 для общего случая была доказана Браттели и Хаагерупом [Вга 9], а ее вариант для следового состояния,
318
3. Группы, полугруппы и генераторы
который по существу содержится в лемме 3.2.62, был ранее установлен Браттели и Робинсоном в [Вга 8]. Последней статье предшествовала статья Галлавотти и Пульвиренти [Gal 1], в которой теорема доказана для абелевых алгебр фон Неймана. Такие алгебры рассматривались ими в свяси с проблематикой классической статистической механики, очерченной в примере 3.2.67, а доказательство строилось по аналогии с доказательством теоремы Томиты—Такесаки. Отметим, что существует аналогия между леммой 2.5.12 и некоторыми результатами, полученными ъ доказательстве леммы 3.2.62. Лемма 3.2.65 представляет собой частный случай результатов по дуальным весам, полученных Дигернесом [Dig 1] и Хаагерупом [Наа 4]. Заключительный пример 3.2.68 был дан в [Вга 9], где также доказано, что в качестве Ш можно выбрать алгебру фон Неймана типа I.
Пункт 3.2.6
Все результаты этого пункта взяты из работы Браттели, Хёрмэна и Робинсона [Вга 4]. Основная проблема—сравнение «близких» групп автоморфизмов — была выдвинута Бухольцем и Робертсом [Вис 1 ], получившими вариант главной теоремы (теоремы 3.2.75), где вместо еь е2 фигурирует о (1) при t -у 0. Способ доказательства, основанный на применении когомологий и сглаживания коциклов (теорема 3.2.73 и лемма 3.2.74), также принадлежит Бухольцу и Робертсу.
Для доказательства предложения 3.2.70, усиливающего теорему 3.1.35 об унитарных группах, привлечена по предложению Хаагерупа техника, использующая числовые области значений операторов.
Сведения о числовых областях значений, которые нам понадобились, можно найти в [[Bon 1]], за исключением результата о секторе унитарной части полярного разложения, который доказан Вороновичем в [Wor 3].
Теорема 3.2.71 получена Кадисоном и Рингроузом [Kad 9]. Она хорошо изложена в разделе 8.7 книги [[Ped 1]]. Там же можно найти и доказательство следующего результата Борхерса (Вог 3], связывающего спектральный радиус р (а — i) с | а — i||:
Теорема. Пусть а есть *-автоморфизм С*-алгебры 21. Если J а — i|] <2 или если р (а — i) < |/ 3, то
р(а — i)=||a — i||.
Константа ]/3 неулучшаема; Сакаи [Sak 6] построил пример внешнего автоморфизма а алгебры фон Неймана ЯК, для которого р (а — i) = |/3. В этом примере Щ — 91 ® ® 31, где —
Замечания и комментарии
319
некоторый фактор, не являющийся фактором типа I, а а совершает циклическую перестановку, т. е.
Тогда а (а) состоит из тройки кубических корней из единицы, так что р (а — i) = \/ 3.
Использованные в доказательстве предложения 3.2.72 результаты по теории меры ((1) и (2)) можно найти в [[Arv 11]; результат (2) по существу был получен Диксмье [Dix 2].
Другим вариантом теоремы 3.2.73 является следующая принадлежащая Конну [Соп 41
Теорема. Если 3№ — фактор с сепарабельным преддвойствен-ным пространством 2Й* и t ? R н-at, — пара таких а-слабо непрерывных представлений группы R автоморфизмами ЗИ, что автоморфизмы —внутренние при всех t ? !R, то существует а-слабо непрерывный унитарный коцикл t н—^ Г, ? ЗИ, связывающий а и р.
Чуть более общий результат можно найти в [Нап 1]. Другой вариант теоремы, в котором не предполагается, что 9JJ — фактор, и не используется сепарабельность Ш^, состоит в утверждении, что при условии || а, — || = о (1), t ^ 0, существует непрерывный по норме коцикл связывающий аир |Вис 1]. Не-
большое предостережение: теоремы такого рода крайне чувствительны к тому, идет ли речь о группе R или о циклической группе. Приведем поучительный пример. П-усть 3JJ = УИ2 (алгебра 2x2-матрнц) н G = Z2 х Z2. Пусть a, b ? G — образующие G, для которых а2 = Ь2 = е, ab = Ьа, и U, V — матрицы
Тогда UV VU = О, U2 = D, У2 = 11. Отсюда следует, что равенства
определяют унитарное представление группы G в Aut (3JJ), причем всё множество a (G) состоит из внутренних автоморфизмов. Если бы
все Us, s ? G, содержались бы в алгебре неподвижных элементов. Но явным вычислением проверяется, что ,3>J“ = СИ. Следовательно, не существует такого унитарного представления.
Применение инвариантных средних для получения результатов о равномерной аппроксимации, сформулированных в конце пункта, восходит к статье Фудзии, Фуруты и Мацумото [Fuj 1].
а (А 0 В 0 С) ~ С 0 А 0 В.
а, (А) = UA U*, ab (А) = УЛУ*
нашлось унитарное представление t ? G t—s- Ut группы G, выполняющее а, то в силу соотношения
at(Us) = UtUsU_t=Us
4. ТЕОРИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ
4.1. Общая теория
4.1.1. Введение
В задачу теории разложения, или декомпозиции, входит выражение объектов, обладающих сложной структурой, через более простые компоненты. Не существует общего правила, объясняющего, что подразумевается под «более простыми компонентами», вопрос этот каждый раз решается конкретно. В теории операторных алгебр обычно изучают два взаимодополняющих вида разложений — разложение состояний и разложение представлений. В этой главе мы опишем главным образом теорию, относящуюся к состояниям, но тесная связь, существующая между состояниями и представлениями, позволит нам выявить и применить также- свойства разложений представлений.
