Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебраическая структура позволяет также установить, что меры обладают хорошими свойствами, и в том случае, когда 21 несепарабельна, а неметризуемо. Здесь имеются два разных подхода. Один состоит в отыскании подходящих граней для
4.1. Общая теория
325
с хорошими свойствами сепарабельности; примером могут служить локально-нормальные состояния квазилокальной алгебры, для которой локальные подалгебры изоморфны некоторым 3? (ф). Эту точку зрения мы проводим в разделах 4.2 и 4.3. Второй подход более существенно опирается на структуру представления, связанного с состоянием, разложение которого изучается. Метризуемость Е<? можно по сути дела заменить условием сепарабельности пространства представления Обсуждению этого подхода посвящен раздел 4.4. Структура представления, по-видимому, исключительно важна также при изучении разложений на бесконечности.
4.1.2. Барицентрические разложения
В этом пункте мы изучим барицентрические разложения точек выпуклого компактного подмножества в локально-выпуклом топологическом векторном пространстве. Классический геометрический результат — теорема Каратеодори—Минковского — утверждает, что всякая точка выпуклого компактного подмножества К в v-мерном эвклидовом пространстве Rv может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем v + 1 крайних точек К.. Тем самым всякая точка является барицентром некоторого конечного набора точечных масс, сосредоточенных в крайних точках К. Эта теорема утверждает, далее, что разложение по крайним точкам единственно тогда и только тогда, когда К — симплекс, т. е. когда К аффинно изоморфно множеству с проективными координатами ((Хь к2, ..., A,v+i); kt 0, = 1}. Наша цель —
получить аналог этой теоремы для более общих, бесконечномерных пространств. Сперва мы введем ряд обозначений, которые будут употребляться в этом пункте, и напомним различные общие положения.
Пусть К обозначает выпуклое компактное подмножество вещественного локально-выпуклого топологического векторного пространства X, а $ (К) — множество крайних точек К'. Символ С (К) будет обозначать вещественные непрерывные функции на К,
S (К) — вещественные непрерывные выпуклые функции и А (К) — вещественные непрерывные аффинные функции, т. е. S (К) = = {/ ? С (К); f (^«i + (1 — к) со2) < kf (coi) + (1 — к) f (со2) при всех (оь со2 ? К и 0 < к < 1}, а А (Ю = {/ ? С (К); f (кщ + + (1 — к) со2) = kf (со,) (1 — к) f (оз2) при всех coj_, со2 ? К и
О < к < 1} = S (К) п (—5 (/С)). Если f, g ? С (К), ТО / g означает, что / (со) — g (со) ^ 0 при всех со ^
Множество М+ (К) положительных мер Радона на К образует подмножество сопряженного к С (К) пространства, которое можно наделить слабой* топологией, т. е. а (С (К)*, С (/С))-топологией,
326
4. Теория разложения
Положительные меры Радона с единичной нормой, т. е. вероятностные меры, мы обозначаем через Mi (К)-
Далее, отметим, что в силу компактности К его борелевские подмножества могут быть определены как элементы сг-алгебры 93, порожденной замкнутыми (или открытыми) подмножествами К-Положительные регулярные меры Бореля, или борелевские меры, задаются как такие положительные счетно-аддитивные функции ц, определенные на множествах из 93, что
|i (В) = inf {(х (С); В cz С, С открыто}
= sup {|i (С); В cz С, С замкнуто}.
Теоремой Рисса устанавливается взаимнооднозначное соответ-
ствие между положительными регулярными мерами Бореля и такими мерами Радона из М+ (К), что ^ (К) = ||ц||- Мы пользуемся стандартным обозначением для интегралов
ц (f) = j d\i (со) f (со), f ? С (К),
которое отражает это соответствие.
К борелевским множествам в К относятся все счетные объединения замкнутых множеств и все счетные пересечения открытых множеств; множества такого типа именуются соответственно множествами типа Fa и G6 (или Fa- и Gмножествами). Бэров-ские множества компакта К определяются как элементы сг-алгебры 930, порожденной замкнутыми Ge-множествами или открытыми /^-множествами в /(. Эта cr-алгебра 930 является наименьшей ст-алгеброй подмножеств К, относительно которой измеримы все непрерывные функции на К¦ Всякая мера |i0 на 930 называется мерой Бэра, или бэровской мерой. Мера Бэра автоматически регулярна и обладает единственным расширением до регулярной меры Бореля на 93. Поскольку сужение на 930 меры Бореля является мерой Бэра, имеется взаимно-однозначное соответствие между мерами Радона регулярными мерами Бореля d\i и мерами Бэра d\i0, а именно:
ц (/) = \d\i (со) f (со) = |ф0 (со) f (со), f ? С (/С).
В дальнейшем термин «мера» будет применяться для обозначения любого из трех введенных типов мер.
Носитель меры ^ ? М+ (К) определяется как наименьшее замкнутое подмножество С s К, для которого ц (С) = ц (К). Существование такого подмножества гарантируется регулярностью fx. Аналогично, говорят, что [х сосредоточена на борелев-ском множестве В s. К, если ц (В) = ц (К). Далее, мера jx называется псевдососредоточенной на произвольном множестве A s ? К, если (1 (В) = 0 для любого бэровского множества В, такого
