Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 4.1.2. Отношение порядка )> на М+ (К) задается условием: ^ v тогда и только тогда, когда fx (/) ^ v (/) при всех / G S (К).
Не вполне очевидно, что отношение действительно вводит в М+ (К) (частичное) упорядочение. Ясно, что )> рефлексивно (^ )> (х) и транзитивно (|х v, v р =>- fx р), но надо проверить антисимметричность, т. е. что jx )> v, v )> jx =>- [x = v. В следующем предложении как раз и производится такая проверка и устанавливается, что всякая точка со ? К является барицентром некоторой максимальной меры (под максимальностью [х подразумевается, что v [X =?> v = ^х).
Предложение 4.1.3. Отношение у* в М+ (К) есть отношение порядка. Если fx )> v, то ||[х|| = || v||, а если вдобавок ||fx|| = ||v|| = = 1, то b (jx) = b (v). Кроме того, ^х ? (К) тогда и только
тогда, когда [х бш.
Всякая точка со ? К является барицентром некоторой меры [х ? Mi (К), максимальной в смысле упорядочения )>.
Доказательство. Если |х >- v и v >- |х, то |х (/) = v (/) для всякой функции / f S (К). Отсюда вытекает, что |х (/ — g) = v (/ — g) для любых пар /, g ? ? S (К), и для заключения о совпадении ц и v достаточно проверить, что S (К) — S (К) равномерно плотно в С (К)-
Лемма 4.1.4. Множество S (К) — S (К) равномерно плотно в С (К), т. е. всякая вещественная непрерывная функция на К может быть равномерно аппроксимирована разностями вещественных непрерывных выпуклых функций.
Доказательство. Теорема Хана—Банаха гарантирует, что непрерывные аффинные функции разделяют точки множества К- Поэтому из теоремы Стоуна— Вейерштрасса следует, что вещественные полиномы от элементов А (К) равномерно плотны в С (К). Но всякий вещественный полином, аргументы которого
330
4. Теория разложения
пробегают компактное выпуклое подмножество R™, может быть представлен в виде разности двух выпуклых функций на этом подмножестве, например
при достаточно больших X. Комбинируя эти факты, получаем требуемый результат.
Конец доказательства теоремы 4.1.3. Согласно лемме 4.1.4, отношение >-антисимметрично и потому задает упорядочение. Заметим еще, что если f ? ? А (К), то / ? S (К) и —/ ? S (К). Значит, (г >-v влечет равенство (г (/) = = v (/). В частности,
последние интегралы понимаются в слабом смысле. В частности, ц >- влечет Iх € М№(К). В обратную сторону, если |х ? Ма(К), то предложение 4.1.1 показывает, что |Л является слабым* пределом сети |% ? Ма (К) мер с конечным носителем. Тем самым, если / ? S (К), то
вследствие выпуклости. Переходя к пределу, получим |.i (/) > / (со), или, что равносильно, |х >- 6И.
Наконец, существование максимальной меры (г >- 6И последует из леммы Цорна, если показать, что всякая сеть мер {|ха}, вполне упорядоченная отношением имеет верхнюю грань. Но для / ? S (К) сеть {(ха (/)} монотонно возрастает, а норма || |ха || не зависит от а. Тогда леммой 4.1.4 гарантируется сходимость {|ла} в слабой* топологии. Пределом оказывается, очевидно, положительная мера Радона, мажорирующая все |га.
Частичную характеризацию упорядочения )>, содержащуюся в предложении 4.1.3, можно значительно расширить. Если мера v ? Mi (К) имеет конечный носитель:
где > 6Ш.. Аналогичный результат о сравнении мер справедлив и в общем случае, и с его помощью можно вполне охарактеризовать рассматриваемое отношение порядка. Поскольку на данной стадии такие подробности нам не нужны, мы отложим эту характеризацию до раздела 4.2 (см. предложение 4.2.1).
Предложением 4.1.3 установлено существование максимальных мер, и интуитивно-геометрическое понимание введенного отношения порядка подсказывает, что максимальные меры должны
П
П
Р (ХЬ х2.............Хп) = Р (*1’ *2 • ¦ .*„) + Я ? - k И
и при /i, v ? (К) имеем также
Ь (ц) = \d\i (со) со = dv (со) со = b (v);
/ (со) = / (Ь (ца)) ^ ца (/)
П
. v = 2 kiS i=i 1
и ji, )> v, то, как можно показать,
П
4.1. Общая теория
331
быть сосредоточены в некотором смысле на множестве крайних точек. Для того чтобы локализовать носитель максимальной меры, мы используем геометрические свойства выпуклых функций, а именно привлечем понятие верхней обёртывающей.
Определение 4.1.5. Если /?С (К), то ее верхняя обёртывающая 1} определяется как функция
f (со) = inf \g (со); —g ? S (К), g /}.
Если f ? S (/(), то ассоциированным с ней граничным множеством df (К) называется множество
df(K) - {?о; со ? К, / (со) = f (со)}.
Подчеркнем, что верхняя обертывающая j может быть разрывна, несмотря на то, что / непрерывна. Тем не менее, поскольку f является нижней обертывающей для семейства вогнутых непрерывных функций, она вогнута и полунепрерывна сверху. Граничное множество включает в себя те точки, где выпуклая функция / совпадает со своей вогнутой верхней обертывающей f, так что точки максимума / туда заведомо входят. Элементарные свойства f и df (К) резюмирует
