Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
ь (%о, + 0 ~ Исо2) = U 0V) + (* - Я) b (M-coJ = Хш1 + (* - ш2-
Вследствие предположенной единственности, А|хш и отображение Ш|—э.|хш аффинно.
(2) =^. (1). Для установления того факта, что — единственная максимальная мера из Ма (К), надо показать, что v -< v^, если v ? Ма (К)- Сперва заметим, что v можно аппроксимировать в слабой* топологии сетью мер с конечным носителем (согласно предложению 4-. 1.1). Если
va=V х?в
где Kf > 0, и / ? S {К), то
t=1
v“ и) - ? w ю < f м.
i=l i=l
со..
V
342
4. Теория разложения
так как vft) >- 8И, в силу предложения 4.1.3. Отображение <В|—аффинно, поэтому
v“ (D=vffl (/).
Zi I ffl,.
Наконец, после предельного перехода получаем v (/) ^ (/), т. е. v -< v^,.
Замечание. Вероятно, следует подчеркнуть: задачу определения того, в каком смысле максимальная мера сосредоточена на <S (К), не упрощает предположение, что К — симплекс. В самом деле, можно привести пример симплекса К с такой точкой со ? К, что
(1) <S (К) будет борелевским подмножеством
(2) единственная максимальная мера [хш ? Ма (К) ^удовлетворяет условию (К)) — 0.
Даже если единственная максимальная мера ^ сосредоточена^на
& (К), это не означает, что не могут существовать другие меры
II ? Ма (К), П ф псевдососредоточенные на & (К)• И действительно, можно указать симплекс К и его точку со со следу-
ющими свойствами:
(1) & (К) — борелевское подмножество К',
(2) единственная максимальная мера fxro ? Ма (К) удовлетворяет условию (К)) = 1;
(3) существует такая мера ^х Ма(К), что |л (К)) = 0
и fx (В) = 0 для всякого Об-подмножества В с В П (К) = 0-
Рассмотренным в этом пункте типом разложения гарантируется наличие представления вида
/ Ф (НО) = j d\x (со) / (со)
при всех f ? А (К), где ^х ? (К)- Естественно поинтересо-
ваться, до какой степени можно ослабить условие непрерывности /, сохранив это представление. Мы завершим этот пункт доказательством справедливости барицентрического представления для аффинных полунепрерывных функций, а значит и для сумм и разностей таких функций.
Следствие 4.1.18. Пусть К — выпуклое компактное подмножество отделимого локально-выпуклого топологического векторного пространства, a f — аффинная полунепрерывная сверху функция на К¦ Если fx ? М1 (К) имеет барицентр b (fx), то
/ Ф (fx)) = j d\i (со) / (со).
Доказательство. Сперва заметим, что f совпадает со своей верхней обёртывающей:
f((») = inf{g((D); —g ? S (К), f}.
4.1. Общая теория
343
Этот факт устанавливается так же, как доказывается лемма 4.1.8. Затем с помощью той же аппроксимационной техники, которая привлекалась для вывода импликации (3) =>¦ (1) в теореме 4.1.15, получаем
/ (* О*)) = На (/) < На (g) <g(b (и))
при всех g ? — S (К), удовлетворяющих условию g > /. Следовательно,
/ Ф (Ц)) < И (g)< g (b (|i)).
Взяв инфимум по g и применив предложение 4.1.6, получим / (Ь (ц)) = [г (/).
4.1.3. Ортогональные меры
В предыдущем пункте мы обсудили общую теорию барицентрического разложения, а в этом пункте рассмотрим некоторые аспекты этой теории в применении к пространствам состояний С*-алгебр. На протяжении всего пункта будет обозначать выпуклое слабо* компактное множество состояний на С*-алгебре 91 с единицей. Большая часть пункта посвящена изучению некоторого подкласса класса мер (?щ) с барицентром со. Эти специальные меры — ортогональные меры — уже кратко обсуждались во введении к настоящему разделу. Они находятся во вза-имно-однозиачном соответствии с абелевыми подалгебрами фон Неймаиа, содержащимися в коммутанте (91)' циклического представления, ассоциированного с со. Кроме того, существует взаимно-одиозначное соответствие между этими мерами и такими проекторами Р в что . и Рпа (91) Р порождает
абелеву алгебру на Р$>а. Первый из основных результатов данного пункта — установление упомянутых соответствий, а второй — демонстрация сохранения естественного порядка при таких соответствиях. В частности, с максимальными абелевыми подалгебрами в (91)' связаны меры, которые максимальны среди ортогональных мер. Ниже, в пункте 4.2.1, этот результат будет усилен, и мы покажем, что при хороших обстоятельствах, например в случае метризуемости Е'^, максимальные ортогональные меры окажутся максимальными в М+ (К), и именно это оправдывает введение ортогональных мер.
