Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3.2.45. Пусть f — ограниченная непрерывная функция двух вещественных переменных. Для h ? L1 (R2) положим
f (h) = j j ds dtf (s, t) h (s, t).
Предположим, что f (h) = 0 при всех h,, обладающих бесконечно дифференцируемым фурье-образом h (р, q), носитель которого компактен и лежит в области ц ф 0. В таком случае
f (s, t) = g (s),
где g — некоторая ограниченная непрерывная функция. Доказательство. Сначала отметим, что f (h) = f (hE), где
йе (р, q)=h (р, q) Хе (?).
а Хе — бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем, равная единице при | q \ < е. Отметим еще, что
l/WKII/L ЦЛЦх.
Далее, пусть h (s, t) дифференцируема по t и ti (s, t) = dh (s, t)Idt ? L1 (R2). Тогда
I / (ft<) I < II / L I Ле Hi < II f L II h II, | Xe ||i;
здесь мы воспользовались тем, что
J Ag ||, = j ^ ds dt \ h'e (s, t) | = j ^dsdt | j dt' h(s, t') x' (/ — t’) | <||/i||, || Xe Ill-
Выберем теперь x так, чтобы ее фурье-образ % был бесконечно дифференцируемой функцией с компактным носителем, причем % (q) = 1 при | <71 < 1. Если положить Хе (я) = % (q/s), то Хе удовлетворяет сформулированным выше требованиям и, как легко видеть, |Хе|, = бЦх' И,- Переходя к пределу при е, стремящемся к нулю, заключаем, что f (ti) = 0.
Наконец, если функция h имеет финитный и бесконечно дифференцируемый фурье-образ, a ha вводится равенством ha (s, t) = h (s, t + a), to
a
f [ha)-f(h)= \dbf(h’b)=0. о
Последнее соотношение можно переписать в виде
j j dsdt (f (s, t) — / (s, t + a)) h (s, t) = 0,
и поскольку f ? LOT (R2), a h пробегает плотное подмножество в L1 (R2), то / (s, о = f(s, t- a) = f (s, 0).
3.2. Теория для случая алгебр
267
После столь внушительной предварительной подготовки по спектральному анализу мы вернемся вновь к теме, обсуждавшейся в начале пункта, — к характеризации равномерно непрерывных однопараметрических групп автоморфизмов алгебр фон Неймана. В предложении 3.2.41 установлено, что эти группы можно охарактеризовать условием компактности их спектра, и мы подойдем к проблеме именно с таких позиций. Следующая теорема, занимающая центральное место в данном пункте, дает описание класса групп с полуограниченным спектром, содержащего класс непрерывных по норме групп. Теорема снабжает нас разнообразной информацией. Во-первых, выясняется, что свойство полуограниченности спектра автоматически влечет выполнимость группы автоморфизмов группой унитарных операторов. Во-вторых, устанавливается, что эти унитарные операторы можно выбрать внутри алгебры, и, в-третьих, что спектр унитарной группы полуограни-чен, а ее спектральные подпространства тесно связаны со спектральными подпространствами группы автоморфизмов.
Теорема 3.2.46 (теорема Борхерса—Арвесона). Пусть 1н-> t—> at — однопараметрическая группа *-автоморфизмов алгебры фон Неймана Ш, обладающая свойством G-слабой непрерывности. Следующие условия эквивалентны:
(1) существует такая сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа 11—> Ut ? 3? (§) с неотрицательным
спектром, что при всех А ? Ш, I ? R
at(A) = UtAUt\
(2) в Ш существует татя сильно непрерывная однопараметри-
ческая унитарная группа 11—> Ut с неотрицательным спектром, что at (А) = UtAU*t при всех А ? Ш, t ? R;
(3) ^[ЭИ06!*, оо) ?] = {()}.
Если эти условия выполнены, то можно выбрать в качестве U группу
Ut= \e~iipdP(p),
— СО
где Р (•)—единственная проекторнозначная мера на R, для которой
P[t, сю)? = П [3R“[S, оо)§].
s<t
Доказательство. (2) => (1). Эта импликация не требует комментариев.
(1) => (3). Пусть Р — проекторнозначная мера, ассоциированная с V. Тогда Р (U, оо)) = И при (^0 и
П Р «Л оо)) $ = {0}.
t ? R
268
3. Группы, полугруппы и генераторы
Согласно предложению 3.2.43, имеем также
Ша [t, оо) © = Ша [t, оо) Р [0, оо) \t, оо) ‘
Отсюда сразу же вытекает (3).
(3) =>- (2). Для каждого / ? R определим Q/ формулой
Qt$ = П [5№“[s, оо) ?].
s<t
Ясно, что Qi образуют убывающее семейство проекторов, непрерывное слева по t, и Q/ —> 0 сильно при (—>¦ оо. Кроме того, Qt = 11 при t < 0. Тем самым на R имеется единственная проекторнозначная мера Р, такая что Р [t, оо) = при всех t.
Далее, так как [9Л“ [t, сю) §] ? Ш" = $01, то Р [t, оо) ? Ш при всех t. Поэтому
Ut = j e-“PdP(p) 6 Ш.
Но спектр U неотрицателен ввиду условия Р [0, оо) = Ц. Определим на ЯК автоморфизмы |5Ь полагая |3/ (А) = UtAU"f. По лемме 3.2.42 при всех / ? R
