Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(II) 501 — фактор типа I, т. е. ЭЛ ~ 2 (§) для некоторого
Если эти условия выполнены, то 8 будет бэровским подмножест-
вом в Eyj^. Если они не выполнены, то существует такое борелевское подмножество GdEyj^, что
а) на G сосредоточены все максимальные в М+ (E^j меры,
б) G Г) = 0-
Доказательство. (II) => (I). Если ЭЛ= 2 (§), то
% = |^ ?ЭЛ; || “ \&W (ф) || = М,
согласно предложению 2.6.14. Значит, N.— устойчивая грань и множество
8 — бэровское, в силу предложения 4.1.34. В этом случае, как легко видеть,
8 (Лдд) в точности совпадаете множеством векторных состояний на Ш = 2 (§>).
(I) => (II). Поскольку ЭЛ— фактор в сепарабельном пространстве, его единичный шар 3Ri метризуем в слабой топологии, и, так как этот шар компактен в слабой топологии, его положительная часть ЭЛ1+ содержит счетное плотное семейство {Ап}п>\. Но тогда {Ап}п^,\ отделяет точки в Л^, поэтому функция
f ? S (Ещу заданная формулой
/(в)=2 2-лв(Лл)«,
п>Л
строго выпукла на Следовательно,
df (Еш) n Nwi — s (Nm)= s (Ет) п мш;
последнее равенство следует из того, что N^ — грань для Е^. Но если фактор ЭЛ
не принадлежит к типу I, он не имеет нормальных чистых состояний, как показывают предложение 2.4.22 и теорема 2.4.24. В самом деле, если (о — чистое нормальное состояние ЭЛ, то яш (ЭЛ) ~ ЭЛ, яш (ЭЛ) = ят (ЭЛ)" и ят (ЭЛ)" = = ‘2’($ш). так что ЭЯ ^ 2 (§ш). Значит, 8 (Е^ f) = 0- Кроме того, по
теореме 4.1.7 все максимальные вероятностные меры на Е^ сосредоточены на
362
4. Теория разложения
G = д[ и, так как G f) = 0, множество Nщ не может быть устой-
чивой гранью.
Из утверждения (4) можно вывести следующее утверждение:
(5). Пусть Ж— у пЖп — квазилокальная алгебра. Если каждая алгебра Ш.п имеет вид Э1„ =3? причем все §>я сепарабельны, то локально-нормальные состояния на St образуют бэровское подмножество в Е^, служащее его устойчивой гранью. Если каждая Жп является фактором в сепарабельном гильбертовом пространстве, и притом фактором не типа I, то множество локально-нормальных состояний не образует устойчивой грани; оно содержится в некотором бо-релевском множестве, имеющем меру нуль для всякой минимальной меры.
Всё предыдущее рассмотрение было наделено на характеризацию свойств множества чистых состояний С*-алгебры. Такие свойства играют главную роль при изучении барицентрического разложения состояния по чистым состояниям. Но представляют интерес и другие типы разложений; так, может возникнуть потребность представить со в виде суперпозиции факторных состояний, т. е. состояний, для которых алгебра фон Неймана л.0 (31)" — фактор. Таким образом, надо изучить и свойства множества факторных состояний на 21. Одним из методов получения информации о таких множествах состояний является погружение 21 в большую С*-алгебру 6, выбранную так, чтобы чистые состояния на К при сужении на 21 оказывались фактор-состояииями 21. Тогда полученную нами информацию о чистых состояниях на К можно перевести в информацию о факторных состояниях 21. Для применения этого метода необходимы некоторые дополнительные сведения из теории меры.
Пусть К — отделимое компактное пространство и ц. — положительная мера Радона на К¦ Подмножество Е s К называется \1-пренебрежимым, если существует такое борелевское F, что Е е F и jx (F) = 0. Далее, множество Е е К называют ц,-измеримым, если найдется такое борелевское F, что (Е U F) \ (Е fi F) будет (х-пренебрежимым. Ясно, что ji-измеримые множества образуют а-алгебру и можно продолжить до меры на этой а-алгебре, положив (х (Е) = (х (F).
Множества типа Fa6, или Fa6-множества, — это подмножества в К, представимые в виде счетного пересечения счетных объединений замкнутых множеств. Подмножество Е <= К называется аналитическим, если существуют отделимое компактное пространство G, /^-подмножество В ^ G и непрерывное отображение /: В К, такие что / (В) — Е. Множество аналитических подмножеств в К содержит все борелевские множества и замкнуто относительно взятия счетных объединений и счетных пересечений. Но s& не замкнуто относительно операции перехода к дополнению множества. В действительности, если Е ? s& и К \ Е ? зФ, то множество Е борелевское. Полезным свойством аналитических множеств является их ji-измеримость для всякой
4.1. Общая теория
363
регулярной меры Бореля |х на К¦ Кроме того, для аналитических множеств Е выполняется соотношение
(i, (Е) = inf {jx (U), Е ¦= U, U открыто}
= sup {и (У), V s Е, V компактно}.
Поскольку [х (К) < + °о, отсюда следует, что найдутся такие Gfi-множество G и /^-множество F, что F,= E<=G\i\i(G\F) = = 0, т. е. G \ Е и Е \ F будут (х-пренебрежимы.
Наконец, если (х — положительная мера Радона, то мы говорим, что (х сосредоточена на [х-измеримом множестве Е, если (х (Е) = = (х (/(). Этим определением понятие множества сосредоточения меры распространяется на множества более общие, чем борелев-ские.
