Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
с учетом отношения порядка, мы имеем
V1 (/) = V1 (f) > (f) = V2 (/)¦
В результате мы видим, что инвариантная ортогональная мера, максимальная в Ма будет максимальной и в Ма а утверждение о псевдососредо-
точенности следует из теоремы 4.1.11. Далее, заметим, что в предложении 4.1.34 было получено представление 8 (F) = df П F для f d S строго вы-
пуклых на F. Поэтому, определив F° = F П ESr, мы убеждаемся, что Fa —
грань в е2г, которая удовлетворяет условию сепарабельности S, и
Ш’
Ж’
8(Fa) = d[ (?0) П Fa^8 (?0).
так как / строго выпукла и на F° S F. Но грань F устойчива, а ц сосредоточена на F П Eft, согласно (2). Тем самым ц сосредоточена на df (?щ), по теореме 4.1.7.
Дадим теперь характеризацию максимальных мер с фиксированным барицентром со ? Е%.
4.3. Инвариантные состояния
383
Предложение 4.3.3. Пусть выполнены предположения предложения 4.3.1. Следующие условия эквивалентны.
(1) Мй(?^г) содержит единственную максимальную меру v;
(2) коммутант {ли (91) (J Ua (G)}' абелев.
Если эти условия выполнены, то v есть ортогональная мера, соответствующая {ла (91) (J U(0 (G)]'.
Доказательство. Дело сводится к повторению доказательства эквивалентности (1) =>- (2) в теореме 4.2.4. Заменяя па (Щ)' на {я(0 (91) U Ua (G)}', замечаем, что если v — мера G-инвариантная и с барицентром со, то jxv (/); f ?
€ ^ (v)} — {л(0 (?I) U иф (G)}'. Включение это выводится из равенства
v (/тй_, (АВ)) = v (fAB) при помощи выкладки, проделанной в начале доказательства предложения 4.3.1.
Следующая наша цель — установить более удобные критерии единственности максимальной ортогональной меры jx ? Мш(?щ)-Отметим, что в случае, когда со принадлежит грани F в удовлетворяющей условию сепарабельности S, такая единственная мера ji будет сосредоточена на множестве G-эргодических состояний & как показывает предпоследнее предложение. Таким
образом, в этом случае единственность максимальной ортогональной [х на Е^ соответствует единственности эргодического разложения. В дальнейшем мы рассматриваем проблему единственности, не обращаясь более к вопросу о множествах сосредоточения меры (я.
Для продвижения в изучении эргодических разложений мы привлечем новое техническое средство. Это результат, который обычно называют эргодической теоремой. Мы неоднократно будем применять его к унитарному представлению Ua (G) группы G в Поскольку мы не делаем никаких предположений о непрерывности g>—> Ua (g), нам понадобится довольно абстрактный вариант этой теоремы.
Теорема 4.3.4 (эргодическая теорема Алаоглу—Биркгофа). Пусть °11 — семейство ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ?, удовлетворяющее условиям
(1) || U || < 1 при всех U ? 'З/;
(2) UxUi ? °U при всех Uly U% ? Щ.
Пусть Е — ортогональный проектор на подпространство в |>, состоящее из векторов, инвариантных относительно всех U ? 41, т. е.
EQ = {-ф; Uty = "ф при всех U ? °U\.
Тогда Е содержится в сильном замыкании выпуклой оболочки Со (4/) семейства °U.
384
4. Теория разложения
Доказательство. Сначала заметим, что для г|) ? Е$ и U ? Ш
и г|) в* = т, -ф) = (Ч), {/*ч>) < и | и к и г.
Поэтому (г|), {У*г|)) = il'vHp и || U*ty\\ = ||г|)||. Тем самым
||](/*i|>— t|)||2 = || (/*г|)||2 — (U*\|), г|)) — (г|), U*\|)) + || ||2 = О и, значит, {У*г|)= г|). Следовательно, если ф ? (?’®>)-L, то (Uq>, i|>) = (ф, ?/*г|>) = (ф, т|>) = О и U(f ? (ESq)1-. Рассмотрим затем выпуклое множество Сф = {х; X = Хф, X ? Со («/)}.
Так как каждое выпуклое подмножество в § содержит единственный элемент с минимальной нормой, должен найтись минимальный по норме элемент % ? ? Сф Е (?’§)±. Но тогда для всякого U ? °И мы имеем || U%\\ ^ ||х]| и> значит, в силу минимальности %, U% = %. Таким образом, х = О-
Далее, если % — произвольный элемент из §, он обладает единственным разложением %= г|)+ <р с г|; ? Еф и ф ? (Е$)±‘ Повторение проведенных рассуждений дает нам
inf Ц'Хх — г|>||= inf ||Хф|| = 0.
XdCo(Ql) Х^Со(^)
Наконец, можно применить такие же рассуждения к семейству Шп = {U 0 U 0 ... 0 U; U ? Щ,
действующему на прямую сумму п копий Следовательно, для любого е> О и любых Xi, Хг> •••> Хп ? ?> можно найти элемент X ? Со (Ш), такой что
П
? II Xxi — Ext ||2 < е. t=i
Отметим, что, поскольку Е принадлежит сильному замыканию Со (<Ы), всегда можно выбрать такую сеть элементов Ха ? Со [Ш),
Ха - ? kfUt,
i
которая сильно сходится к Е. Мы применим сейчас этот результат к представлениям группы G унитарными операторами; можно было бы пойти дальше и утверждать, что такие аппроксимации можно получать как некоторые усреднения, или средние, на группе. Такая интерпретация в терминах средних значений дает интуитивное объяснение примененному выше предельному переходу, ее также полезно иметь в виду для понимания ряда предельных процедур, которые нам встретятся ниже. Тем не менее она не является абсолютно необходимой для развития теории эргодических разложений, и мы продолжим изложение без этого добавочного украшения (см. замечания и комментарии).
