Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. По эргодической теореме (теореме 4.3.4) в Со (U (G)) существует сеть i^-fU (gf), которая сильно сходится к Е0. Если А ? 9JI, то Е0АЕ0 = s-lim ? K«U (gf) АЕ0 = S-lim ? kfU (gf) AU (*«)* E0-
a { a i
В силу теоремы Алаоглу — Бурбаки и предложения 2.4.18, шар ЗКх слабо компактен, поэтому у равномерно ограниченной сети ptfU (gf) AU (gf)* имеется слабо сходящаяся подсеть ^ ("Afa (§;) AU (g?)* с пределом В ? Ш. Следо-вательно, Е0АЕ0 = ВЕ0. Так как F0 = И, то E0!q — циклическое для 9Jt' и потому отделяющее для 9JI множество. Значит, приведенное соотношение определяет В ? Ш единственным образом, и можно ввести отображение М, задав М (А) = В. Отображение М, очевидно, линейно и G-инвариантно. Его положительность ясна из построения В, а точность следует из того, что ?0§ — отделяющее для 9К. Если А > 0, то М (А) = 0 и 0 = Е0АЕ0 = (Л1/,2Е0)*(Л 1/,2.Ео)> так что Л1/,2Е0 = 0 и Л^2= 0, т. е. А = 0. Так как
U (g) BU (gT1 Е0= U (g) ВЕ0 = U (g) Е0АЕ0 = Е0АЕ0 = ВЕ0,
то М (Ш) Я=Ша. Обратно, если В ? 9К°, то М (В) = В по построению, так что М — проекция на Ша. Если ? Эйс Г) {Сото (Л)}, то В\/:„ - Е0Н[/:'() — EqAEq - BEq и, следовательно, = В и
{М(Л)} = шг° п (Со (т0 (Л))}.
Если I ? § — вектор вида g = fi'gо, где ^ ? ?„§ и В' ? Ш1, то для Л > 0 (В%, М (А) В'У = (В'М (Л)1/2 В'М (Л)1/2 ?0) ^
<||В'||2(?о- М(Л)?0) = ||В'|Р(^0, М (А) ?0?о) = II В' |р (§о, Л?„).
Следовательно, соответствие Л i—> (В'§о, М (A) В'?0) определяет нормальный положительный функционал. Так как F0 = И, эти нормальные функционалы порождают плотное по норме подпространство в2К*; значит, М нормально. Если со — нормальное G-инвариантное состояние на Яй, то
со (Л) = lim со ^ ? хр (g») AU (gf)' j = со (АГ (А)).
Поэтому со = j'co j^Gj ° М, и тем самым устанавливается взаимно-однозначное
соответствие между нормальными состояниями на и нормальными G-инвариантными состояниями на 5Ш.
Если F0=f= i, то, учитывая, что U (g) 501'U (g)_1 = 9Jt' при всех g ? G и
Fp= мм имеем U(g)F9= F9U (g). Значит, F9 <= Ш П U (G)’ = ЭД°.
390
4. Теория разложения
Далее, если А ? Ш , то ЛЗЛ'Ео = ЯУТЛБ1,, = 2К'?„Л, поэтому F0 ? (§01 )'. Последнее из утверждений предложения доказывается теперь применением первого утверждения к алгебре фон Неймана РаШР0, на которой действуют унитарные на F0§ операторы V (g) F0.
Полученный результат можно употребить для вывода главной характеризации единственности G-инвариантных максимальных мер.
Теорема 4.3.9. Пусть g ? G н-> xg ? Aut (91) — представление группы G *-автоморфизмами С*-алгебры 91. Далее, пусть имеется G-инвариантное состояние со на 91, и пусть Еа — ортогональный проектор в на подпространство, образованное ?/ш (G)-инвариантными векторами. Наконец, пусть Nобозначает множество всех па-нормальных G-инвариантных состояний на 91. Следующие условия эквивалентны:
(1) пара (91, со) является G-абелевой;
(2) каждое ‘со' ? NZ служит барицентром единственной максимальной меры |х' ? Ма> (?щ);
(3) {лш, (9t) U Uи' (G)}' является абелевым при всех со' ? N%;
(4) 1Еа'Ла' (9t) Et,y\ абелево при всех со' ? Na-
Доказательство. В предложении 4.3.7 уже установлены импликации (1)-ФФ--ФФ- (4) =>¦ (2) -ФФ- (3); остается доказать, что (2) =>¦ (4).
Положим Fw— [лш(Щ)'?'ш] и 231 = Fana (Й)" F(0. Затем определим действие т на 231:
хя(А)= Ua(g)AUa(g)*,
и введем соответствующую единственную нормальную G-инвариантную проекцию Л4:231 I—> 231°, описанную в предложении 4.3.8. Далее, каждое со' ? УУ® продолжим на пш (81)" по a-слабой непрерывности. Пусть & обозначает сужение со на 231. Так как Fa >¦ Еш, то со (Fa) = 1 ий — состояние на 9Л. Также отметим, что
< = {«'; со' 6 N°. со'(?и) = 1}.
Теперь рассмотрим N® — слабое* замыкание множества NИз предложения
4.1.14 следует, что максимальные вероятностные меры на образуют симплекс. Тем самым условие (2) с учетом очевидного линейного изоморфизма показывает, что N® — тоже симплекс. Но если состояния со1( со2 ? таковы, что (сох + соа)/2 ? yV?, a coj V с°2 и coj Д со2 обозначают’соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани, то из соотношений
(сох + со2) (Fa) (сох V со2 + м1 А со2) (Fa)
2 ~ 2
вытекает, что coj, со2, сох V <о8, сох Д сог g /V?. Таким образом, одновременно оказывается и гранью в Nи симплексом. Согласно предложению 4.3.8,
4.3. Инвариантные состояния
391
при отождествлении со' = со .Л совпадут jV? и jV^g, атаккак —сим'
плекс, то алгебра 5ШG абелева, согласно примеру 4.2.6. Далее,
Еапа (И)" Еа = E0FaKa («)' FaEa = ЕаШЕа = ЕаМ (Ш) Еы = ЕаШаЕы,
а поскольку Еа ? то ?мпа (Щ)" Еа абелево. Наконец, из включения
jV®, ? jV® при со' ? jV® следует по тем же самым соображениям, что .Е'(1)/Ячо,(31)'' Еа, абелево при всех со' ? jV®.
Один из выводов, которые можно теперь сделать, заключается в том, что коммутационное свойство, применявшееся в определении G-абелевости, на самом деле эквивалентно гораздо более сильному и более «равномерному» свойству коммутативности.
