Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
неизменной.
S* можно рассматривать вместо S, как производную функцию канонических
преобразований, сводящих'^* и pk к Wk и У*.
Так, например, уравнение
'gipk'qk = - lwjk+^ равнозначно уравнению
bPbQk^bJbwkJr-Q]T
и это дает преобразование
<171 {</,").
Исходя из этого, можно вывести простое выражение для среднего значения
кинетической энергии в случае неотносительной механики, а именно:
ta ti t%
2f=vhi/2?' f2,p,d*>=irhf +
t\ fj tz
+J~rjdS'
tl
85
Выбирая отрезок времени (t\, t0) достаточно продолжительным, получим
и
г?-ггЬ./2Л,*'г'
и
(18) 27 = E/AvA.
Введенные здесь интегралы Jk (12), казалось бы, представляют возможность
формулирования квантовых условий в форме Jk = tikh.
Но по самому определению они связаны с координатной системой (q, р);
поэтому необходимо сначала исследовать условия, при которых эта
координатная система определяется однозначно. Итак, исследуем, существуют
ли преобразования точек (т. е. преобразования между координатами),
сводящие разделимые переменные в разделимые.
Предположим, что существует координатная система, в которой уравнение F а
м и л ь---~ тона-Якоби рассматрива-
( емого движения разделяется.
\ / Далее предположим, что
\ / между периодами движения
^ _ нет никакой, скажем, тожде-
--- * ственной соизмеримости, не зависящей от начальных условий. Тогда мы
можем начальные условия выбрать так, что путь не будет замыкаться. Если
переменная qk испытывает либрацию, то движение происходит между двумя
определенными (/-1) измерительными плоскостями qk = const, прикасаясь к
ним попеременно.
Но если qk осуществляет вращение, то ее изменение ограничивается областью
от 0 до й*, где й* - соответствующий период; при этом откладываем части
траектории отрезков
(та>А, (т+1)йа)
с помощью .отрезка (0, й* )',
Тогда вся траектория будет проходить внутри квадрата/измерений,
ориентированного по координатным осям.
(f- 1) измерений плоскости, ограничивающие квадрат, имеют независимое от
координатной системы значение. Изменяя с помощью начальных условий
размеры квадрата, можно сместить инвариантные плоскости.
Из этого мы можем сделать заключение, что направления координат имеют
инвариантное значение, и только может изменяться шкала каждой отдельной
из переменных.
В случае тождественности соизмерений все координатные системы, в которых
возможно разделение переменных, связаны преобразованием следующего вида
Як -fkiQk)'
Соответствующие импульсы преобразовываются с помощью уравнения (10) § 7.
/1 •f
А=А^+&(0г--ft).
Таким образом-
§Pkdqt=§A §~dqk+jgkdqh.
Второй интеграл с правой стороны исчезает (замкнутость пути
интегрирования, а первый интеграл равен
§Ptd9r
Итак, интегралы Jk действительно определены однозначно.
В случае пространственного осциллятора, траектория движения, вообще
говоря, действительно заполняет квадрат. Таким образом в случае
отсутствия тождественных соизмеримостей, прямоугольные координаты или их
функции представляют отдельные разделимые переменные, и интегралы Jx, Jy,
Jz имеют инвариантное значение.
При наличии существования тождественных соизмерений, кривая движения в ^-
пространстве не заполняет полностью квадрат, и координатные направления
не должны обязательно иметь инвариантное значение.
Тогда 1к могут быть и неоднозначны.
Так мы можем в случае пространственного осциллятора, при условии, что
чх=чу, координатную систему произвольно вращать вокруг г, не нарушая этим
разделяемости координат, при этом в различных координатных системах мы
получаем различные Jx и Jy.
Далее, прямоугольные координаты не являются единственными, для которых
при ч.с = чн в случае осциллятора возможно разделение переменных.
Для того, чтобы показать это и одновременно дать пример для решения
уравнения Г амильтона-.Якоби способом разделения для случая, когда оно не
распадается аддитивно,- применим для пространственного осциллятора, при
наличии ч = цилиндрические координаты. Каноническое преобразование <12) §
7:
X=r C0S<P PraPx COS <Р+Ру sin <р
y*=r sin? Рч> = - pxrs\n <t+pv rcos <j>
Z= Z pz *=P2
приводит функцию Гамильтона к виду
Попытаемся, уравнение Г амил ь тона-Якоби
(¦§) + (iff+т% (W
решить с помощью формулы
S=Sr (r)+St? (?)+& (г), так как <р представляе_т циклическую координату,
то
(r)<р ^р.
Соберем теперь все члены, зависящие от г, и положим их равными посто-
янной тг агг:
г ,.2 "2.
1г2=т2 т\ а2.
(§Ьч
Тогда для всех зависящих от г членов остается:
dSr У а1 , о
J -f-^a + /м2и>3/-2=2/и № - /ns *г az.
Образуем три интеграла действия, при этом два из них можно вычислить
сразу и при этом Jz введением дополнительной переменной 6 = arc sin JL,
подобно тому как то было в § 9. Мы получаем:
2 W - т (о* a a* dr
г*+--------?- г*------------bi'~7
т со3 т2&2 Г
(19) J<p=2Tca-f; Уг=/и шг <J>V <**-za <?г = п от <ог .
Первый интеграл с помощью подстановки г2=х примет форму.
V- а+2Ьх~
где
2 Г -4-
а2(c) , 2 z z
а= V; 6=-----------
/И3 (О2 ' и"1
Этот интеграл можно вычислить методом, приведенным в приложении.
