Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
относительно wk с простым периодом 1. То же самое имеет место и для рк,
что легко видеть из первой системы уравнений. Докажем теперь, что наличие
условий (А), (В) и (С) достаточно для применения (в полном смысле слова)
квантовых условий типа (1).
Найдем предварительно самое общее каноническое преобразование
wk Л.
не изменяющее условий (А), (В) и (С). _
Определим первый ряд преобразовывающих уравнений для wk. Принимая во
внимание (А), мы видим, что преобразование системы точек решетки, которым
соответствуют простые периоды, приводится к такой же самой системе. Тогда
по (7) § 13 wk должны преобразовываться следующим образом:
(6) wk=-zilwl + , .. +тй/ щ w2, У2...).
При этом система целых чисел имеет детерминант +1 ф - являются
периодическими относительно да* с периодом 1. Если их записать, как
функцию щ, то они будут также периодическими относительно wk.
Таким образом, их можно представить в форме:
• -+7 V-
Условие (В) дает новое ограничение. Как так и wv как функции времени,
должны быть линейными, а поэтому иф* также представляют линейные функции
времени и, благодаря периодичности, должны следовательно быть
постоянными. В ряде Фурье это обозначает, что в показателях встречаются
только такие комбинации w# для которых независимо от времени t
-------------------------------------И/5/)-
91
Таким образом (тождественно для Jk)
0^!+ - • .+^/ = 0, dW
где v* обозначает производную --ч-т- •
UJk
Существование тождественных соотношений между частотами, (tv) = T1v1+..
,-j-^v/ -0, вообще говоря, в наших рассуждениях играет большую роль.
Назовем системы, где это имеет место, вырожденными системами; другие
системы мы будем называть невырожденными.
В дальнейшем мы столкнемся с такими случаями, когда, лишь для
определенных значений Jh имеют место их соизмеримости, и при этом условии
механическая система не является вырожденной. Но рассмотренные движения,
где (т;ч)=о, мы будем называть случайно вырожденными, а движения
вырожденной системы [('см)^О тождествено] будем называть собственно
вырожденными.
Рассмотрим сперва невырожденные системы.
В этом случае преобразование (6) имеет форму
(7) Щ=Sw+Ф* (Л ¦ • • Jf)'
i
Для отыскания второго ряда преобразовывающих уравнений, для невырожденной
системы запишем для преобразования (7) производящую функцию, т. е.
напишем:
Кф,/,...wf,Jf) ='2%Л(r)г+^ (Л- • . .wf),
м
где W имеет частные производные от ф* \
Второй ряд преобразовывающих уравнений обозначится
(8) Jk =^~ = ^lkJi+fk(wl.. .wf).
dwk i
Чтобы установить, действительно ли преобразование
(9) Wk=itfiii+Ук (Л • • • • Jf)
Л = Т,* Ji+fk {Wi--Wf)
Т
удовлетворяет условиям (А), (В) и (С), необходимо ограничить совокупность
допускаемых преобразований, разложив его на три преобразования, именно
(10) w*=to*+4>*(/i ••.••//¦) Л =8*
(11)
(1-2) tok = wk 7k =3*4-/*((r)V-•wt).
1 Мы видим, что 'ifc в (7), должно удовлетворять определенным диференци-
альныи соотношениям, чтобы преобразование было каноническим.
92
Все три являются каноническими, и для каждого можно написать определенную
производящую функцию в смысле § 7.
Первое преобразование (10) не искажает условий (А) и (В). В том, что оно
удовлетворяет условию (С), можно убедиться следующим образом:
Если-S (<7,3) и <B{q,J)- производящие функции преобразований формы (2),
приводящие q, р kw,Ju го,3, то мы имеем право надписать
dS(q,J) д<3(д,3)_" dq, ~ dq* .
Из тех соображений, что при -диференцировании мы принимаем за постоянные
те же переменные, заключаем, что S - 6 не зависит от qk.
Тогда для S* - 6* имеет место
fe к 'ft из,чего видно, что условие (С) не изменяется.
Далее видно, без дальнейших объяснений, что (11) не влияет на (Л) и (В).
Для (С) поступим следующим образом. Для
6*(q, ГО) и 6* (<7Х,ГО)
имеет место
дв дб*_
dqk ~Pi' ¦ _
так как детерминант преобразования го в го не равен нулю. Следовательно
<3*- <3* от q не зависит.
С другой стороны
дб* _ vi т д?>* д<5* д Го| _ д б*
д го* ~ Т Т,' г d'vi' dio* дго7
Из этого следует, чтоб* - 6* также не зависит от го и ГО.
Для того, чтобы общее преобразование (9) не изменяло трех вышеприведенных
условий, необходимо и достаточно, чтобы оно
сохранялось для (12). __
Для 6* {q, ГО) и 5* право написать
д&*_ dS*_ dq,~dqk~Pi'
Таким образом _____ _
Q* - Sb==R(wl ... w^i).
Далее _ _
дв* д-S* * - v
ого * dw
откуда
dR , -s
...
Если мы хотим, чтобы в результате преобразований не изменилось (С), то R
должно зависеть периодически от wk\ таким образом /* можно представить с
помощью ряда Фурье, но без постоянного члена. Если же мы не хотим
изменять (В), то fh должно не зависить от времени; из этих условий
вытекает исчезновение /*.
При /*=0 условия (А), (В) и (С) остаются неизменными.
Этим самым мы доказали, что преобразование
(13) Л'=^|т"^
для переменных действий есть преобразование самое общее. Если теперь
определить Jk, как, целые кратные числа от h, то и Jk будут целыми
кратными числами h и наоборот.
Если мы желаем в наших рассуждениях исходить из наличия целых чисел то
