Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. Многопериодические функции
Прежде чем рассматривать системы со многим числом степеней свободы,
введем понятие многопериодических функций и исследуем некоторые их
свойства.
Определение 1. Функция F(xt.. .xf>yx...) имеет относительно х,. . .х(
период & с компонентами
fi>" &2...&f
при условии, если существует тождество
(1) ^(-"i+ffij, х2+&2.. .xf+&f)=F(xi,x2.. .xf).
Если xt .... Xf обозначают координаты /- измерительного пространства, то
каждому периоду соответствует в этом пространстве один вектор.
Заменив в (1) (хи х^.. .хД через (х, ± б" х2 ± <о2(.. .xf ± <о^) и
повторяя эту операцию произвольное число раз, легко убедиться в
справедливости следующих теорем:
Теорема 1. Функция, имеющая период й, имеет также и период т. е. с
компонентамитй1( тб2,...тб>л где т - произвольное целое число.
Если функция F параллельно & имеет еще и период 6', то, делая замену в
(1) [xlt х2...xf) с помощью (л1+й1'>-*2+62'-. .xf+ + &/), можно
установить следующую теорему:
Теорема.2. Векториальная сумма &+<5' периодов & и t5', т. е. вектор с
компонентами
0)2 +6*2 "•&/ + й / точно также представляет период.
Соединяя теоремы 1 и 2, получаем теорему 3.
Теорема 3. Если функция имеет множество периодов
w(l) = ((0l(l)j йг(1)....й/1))
"<">=(а,(r),
&{S)z=(&i(s)liо2(е).. ..&/&),
1 См. М. Born иЕ. Brody, Physikal. Ztschr., Bd. 6, S. 132, 1921.
Более подробно см. М. Born: Atomtheorie des festen Zustandes, Leipzig,
1923, S, 698.
74
то любые линейные комбинации, представляющие целые кисла, суть также
периоды-.
(2) V Xi й(А) _ (? • • • V) т4 "/° )'
k \ k A k J
Определение 2. Дее точки (xvxf) и (xi'."-x/) называются эквивалентными,
если соединяющий их вектор имеет форму ^ т* &(kK к
С целью исключения несущественных особенных случаев, установим следующее
требование:
Функция F не должна содержать бесконечно малый период, т. е. такой
период, для которого длина изображающего вектора была бы меньше любого
малого числа.
Рассмотрим теперь два периода й и Ы, изображенные двумя параллельными
векторами. X должно обязательно являться рациональным числом, в противном
случае можно всегда с помощью соответствующего выбора т и т'' период
(т+'Л) й сделать произвольно малым числом1.
Если q самый меньший знаменатель, с помощью которого
можно X представить в форме-, то - й точно также нечто иное,
Я Я
как период.
С помощью известной теоремы можно всегда ' представить два целых числа
тих' таким образом, что
q-z+pz'= 1
и, следовательно,
Теперь мы видим, что каждый период, вектор которою имеет определенное
направление, можно представить, как кратное целое число некоторого самого
меньшего периода. Из этой теоремы можно непосредственно вывести обобщение
для всех периодов функции F, расположив все периоды по значениям их
векторов
(3)
Возьмем из этого ряда первый период и первый следующий за ним, вектор
которого имеет некоторое другое направление. Тогда эти два периода,
скажем соО и й(-), определяют паралле-лограмную сеть в плоскости
соответствующих векторов.
Свойство ее заключается в том, что каждый вектор, соединяющий два угла
этой сети, точно также представляет собой период. Этим исчерпываются все
периоды, векторы которых лежат в этой плоскости.
Если, например, окажется вектор <3, конец которого не совпадает с точкой
сетки, то существует, во всяком случае, точка
1 См. приложений 1.
75
сети, находящаяся от каждого конца на расстоянии, меньше чем (в").
Если бы й представляло собой период, то вектору этого расстояния также
соответствовал бы период, но он имел бы значение меньше (<о(2>). Прибавим
теперь к "(1) и &f2) ближайший период ряда (3) вектор которого не лежит в
плоскости, определяющейся й*1* и Тогда эти три периода будут определять
плоско-параллельную (трех измерений) решетку, обладающую теми свойствами,
чтб каждому вектору, соединяющему две точки решетки, соответствует один
период, и этим самым исчерпываются все периоды, лежащие в
трехизмерительном пространстве, определяемом посредством
<5<Ч ш(2), й<3).
Продолжая таким образом процесс до тех пор, пока не исчерпаются все
периоды, что имеет место при переходе к /- измерительному пространству,
можно констатировать следующее:
Теорема 4. Каждой периодической функции F (х,... xf, уг) от хг... xf
соответствует система периодов аН1) to<2\...й'й, об-
ладающая тем свойством, что любой из периодов № функции F может быть
представлен в форме
Рис. 6 .
V
т* ш(Л).
При этом число периодов g не может превышать (максимуму числа f
переменных.
Определение 3. Система, имеющая упомянутое в теореме 4 свойство,
называется периодной системой.
Мы изобразили все периоды F с помощью g- измерительной решетки. Само
собой разумеется, при этом для нас были существенны точки решетки, но не
соединяющие их вектора. Вообще говоря, систему <3<1}, <5(2).. .<5(^ можно
заменить другой системой с одинаковым числом g периодов, дающей равные
вершины. Именно:
6(1)'= ^Ti* Й(Д°
(4)
w'!)'=VTaftioW
к
76
Этот случай имеет мерто, очевидно, лишь тогда, если, детерминант для %ik
