Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо сформулировать перед этим
доказанное механическое положение, независимо от всех квантовых теорий, а
именно:
Теорема однозначности невырожденных систем:
Если представляется возможность в механическую систему ввести переменные
wk и Jk так, чтобы выполнялись условия (А),
(В) и (С), и если между величинами
dW
v*=
oJk
не существует никакой соизмеримости, то У* являются однозначно
определенными с точностью до однородных линейных целочисленных
преобразований с детерминантом +1.
Переходим теперь к рассмотрению вырожденных систем. Если среди v* имеют
место (/-s) соизмерительных условий
(14)
то мы можем с помощью канонического преобразования, не изменяющего
условий (А), (В) и (С), достигнуть того, что /-s -dW
частот Vfe=- _ - исчезнут и среди остальных s не будет существо-dJk
вать ни одного соотношения формы (14).
Назовем опять новые переменные Wk и У*; тогда мы имеем va несоизмеримые,
a=l,2-*-s vp=0 P=s+1, S+-2--*/
и функция Гамильтона имеет форму
W(Ja).
Будем называть wa и Ja собственно угловыми переменными и собственно
переменными действия, a wp и Ур - не собствен-
94
ными или вырожденными переменными (wp во время движения остаются
постоянными). Число s независимых частот va называется степенью
периодичности системы.
В случае возможного вырождения для определенных движений, число
независимых частот меньше, чем для всей системы. Будем называть это число
степенью периодичности рассматриваемого движения. Займемся теперь
отысканием самого общего преобразования, не изменяющего ни этого двойного
деления переменных, ни условий (Л), (В), (С). Первый ряд преобразующих
уравнений теперь получит форму:
¦~Wn= ^klWi + &k(ws+1-' -Wf, Ji'--Jf)
I
и производящая функция:
(15) V(ws--wf, J^.-Jf)^ ^ ^
¦=YiXklJkWl + Wt(r)5+1 ••• Wf, F(W1 - Wf),
kl
где зависит периодически от wp.
Второй ряд уравнений преобразования
__ дцг _ _
W' + ^ +fk(wi - - - wf).
I Л
Производная ЧГ появляется лишь тогда, когда k принимает значения чисел
s+1 •••/.
Чтобы сохранить деление переменных на_невырождающие вырождающие, wf не
должны зависеть от wa, а также wp от
W
Тогда уравнение преобразований можно записать следующим образом:
W* = 2 xal Wl + Фа J)
W0 -
+<Pp(wa, J)
(16)
2 T'P Jl + <Pp ((r)., J) + /P {w)
a, p = 1 • • • s p,o=s+l--./ &,/ = !••• f
где мы положили
dw0
Так как - целые числа и тра исчезают, то из значения детерминанта следует
1411 = ± 1,
а также 1^1 = ±1.
95-
Разложим теперь преобразования (16) на две части:
(r) 1*1 Ю/ + (Юо, У) 3<Х=
(17) 1 Р
" ? tp"ttje + "рр (№а,У) 3Р= ^т/р Ji +(рр(ю<"У)
(r)р
и
18) tvk= Щ, Jk = $k+fk ((r))
и покажем, что первая часть не изменяет условия (С), а вторая ведет себя
так же само при условии, если /*=0.
Рассмотрим функцию S - 6 в ее зависимости от to и У, т. е. напишем:
S=S[q(tv,J),J]- @ = @[д(Ю,У),3(Ю,У)]
и образуем
дЩ Zi да-1 ' 2j41 dt0" Zj д%' dtD*
-2
i г i
d'fo
_*°e *ok
9
поэтому
d IQ r~\ П d IQ Vn, db
<W) Jk<s-e>-°> asr<s-s)=-2ro
<?Юр'
Далее образуем:
djh
i
Из (19) и (20) следует
S -@ = W(to" ,У) -2". Ъ,
9
где W имеет то же значение, что и в (15). Следовательно,
5* - <3*=S - 6 - S (2 ^ ю"+Ф") Л+? to* (? V,+fc)=
* I к 1
= W (to "У) - ? У* <р* (ГО,, У),
• к
но это означает, что (С) остается без изменения.
"6
Условия неизменности (С) при преобразовании (18) находятся точно таким же
путем, как это мы находили при невырожденном случае. Так имеем
д _
Л ("0= - дт¦¦№)•
Если (С) и (5) выполняются, /*(">) является периодической функцией вида
_
х _
где могут появляться степени, содержащие лишь одно w? ; следовательно,
всегда т* =0, из чего мы заключаем, что
fa (W) = 0.
Таким образом, самое общее допустимое преобразование невы-рождаемых
переменных действия будет
(21) y"=2Wp-
р
При этом Jp не преобразовываются, как целые числа.
Так как при условии (С) в преобразовании /р не появляется(r);, то из
системы /р, где все /р -_целые кратные числа h, можно всегда выделить
систему /р, не имеющую этого свойства (сравн. примеры § 14).
Результат нашего исследования, независимо от применения' квантовой
теории, мы можем высказать следующим образом: Если в механическую систему
можно ввести переменные wkJ)C, выполняющие условия (А), (В) и (С), то их
можно всегда подобрать так, что известные частные производные
d\V V* dJh '
именно v?(a=l ...s} будут несоизмеримы, а все остальные vP (p = s+l.. .ft
исчезнут.
Тогда Ja будут определены вплоть до однородных целых преобразований с
детерминантом ± I1).
Сделаем еще некоторые заключения из периодичности S*, как функции q и w
или У и (r).
Функция S=S*+^wkJk увеличивается на Jk, если wk получает приращение на 1,
при условии постоянства других и и У. Это можно записать математически
следующим образом:
Hdw'
о о
1
(22) /,=J dwk ^
ИЛИ 1 1
р
Pldwk'
1 I. М. Burgers, давший существенное содержание этой теореме в своей
диссертации, не приводит однако совершенно доказательства (а. а. О. §
12).
Борн-409-7
97
Этот интеграл использован с той целью, чтобы убедиться, выполняет ли
