Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
системам, каждая из которых имеет одну степень свободы. Рассмотрим
случай, когда изменение каждой переменной qit происходит периодически во
времени. Тогда мы можем обобщить вышеприведенный метод, а именно
переменные действия определить, как
(1) Jk*=jptdqt
7&
и функцию Sk выразить через qk и Л
Пример. Пространственный осциллятор. Пусть материальная точка с помощью
каких-либо сил находится в устойчивом положении равновесия (например,
легкий атом в некоторой молекуле, состоящей из относительно недви-жущихся
тяжелых атомов). Тотда потенциальная энергия малых смещений представляет
положительную квадратическую форму компонент. Тогда можно всегда
расположить оси координатт й системы (х, у, г) по главным осям
эллипсоида, соответствующего этой квадратической форме. Функция
Гамильтона тогда будет
(3) H=hi (Р*+РУ*+РЯ + 7 №*+*У УЧ-"*1*2)-
Поэтому движение можно рассматривать, как результат колебаний
трехлинейных осцилляторов по координатным осям. Благодаря этому по (9) и
(10) § 9:
х=у т sin 2lt w* P*=V'^xtnJx cos 2я wx
y=j/~2^Tin Sin 2я Wb Py= ^ cos 2,га,У
z=1/ _ sin 271 w, рг= у" 2чгтЛ cos 271(0,
где
Wx='l,t + bx
271
Энергия составляет (5)
Движение имеет тот или другой вид в зависимости от того, существует ли
между v линейная целочисленная зависимость или вет.
•Vis + Vy + V.^O.
Предположим сперва, что этого случая не наблюдается. Мы докажем (см.
приложение 1), что в этих случаях, вообще говоря, траектория движения
заполняет всю область, имеющую столько измерений, сколько существует
степеней свободы. (К каждой точке траектория может подходить произвольно
близко).
Сошлемся здесь предварительно для наглядности на то, что траектория
движения может подходить произвольно близко к каждой точке квадрата,
параллельного координатным осям и имеющего длины сторон:
V -т1-¦ • V"-Лг- • ; V
г т? тчх г тi тчу 3 г 71 тч2
(пространственные фигуры Л и с с а ж у).
Чтобы объяснить особенности, встречающиеся при условии наличия
соизмеримости среди ч, рассмотрим простои случай, когда чх=чу. Он
наступит, если потенциальная энергия имеет соответствующий эллипсоид
вращения, симметричный относительно оси г. Тогда траектория проходит по
эллиптическому цилиндру, охватывающему ось г. Теперь определенному
движению не соответствуют
80
определенные значения Jx и J , так как мы можем произвольным образом
вращать координатную систему вокруг оси z, причем изменяются длины
перпендикулярных оси г сторон квадрата, касающегося траекторий. Напротив,
Js остается определенным однозначно, кяк высота эллиптического цилиндра,
на котором проходит траектория (если при этом не встретятся новые
соизмеримости).
Так как энергия W равна
то благодаря движению можно определить лишь сумму Jx+Je.
Если все три частоты равны между собой, то движение происходит по
эллипсу, и все три J определены не однозначно, так как координатная
система может произвольно вращаться. Энергия равна
вследствие чего сумма J при таком вращении не изменяется.
Перейдем теперь к вопросу о квантовых условиях такой системы со многими
степенями свободы. Первым долгом полагаем
очевидно, не имеют никакого смысла. А именно, если мы имеем движение, для
которого при некотором расположении х и у осей Jx и Js- целые кратные
числа Л, то мы можем координатную систему всегда повернуть так, что это
свойство нарушится, но сумма Jx-\ Jy останется целым числом. Таким
образом имело бы смысл положить
Так как в выражении энергии Jx и Jy встречаются лишь в этой комбинации,
то это квантовое условие не приводит к однозначному определению
траектории движения, что имеет место в отношении энергии.
Для J, квантовое условие (10) 7г"=пгЛ
бессмысленно. Итак, пример говорит о том, что необходимо наличие стольких
квантовых условий, сколько существует различных друг от друга периодов.
Если все три частоты сливаются, то остается лишь одно условие
При этом условии энергия вновь определяется однозначно.
Исследуем по возможности точно изменение условий переменных при вращении
координатной системы.
К,прямоугольным координатам х и у могут принадлежать также и переменные
действия Jx, Jy, а к координатам
(б)
w=,HJx+Je)+^
(vx = Vj,= v),
(7)
(Jx + Jy+Jz),
(8)
Jk=nkh.
В случае осциллятора с двумя равными частотами vx=vi/ условия
Jx " nJv, Jy = nyh,
№
Jx+Jy-nh.
(H>
X-=X COS a -у Sin a y - X Sin a+ у COS a
переменные действия.
Выразим в уравнениях
Jx ,Jy
- р-+ - чРх*
г г Т о Л
Борн-409-6
81
Sin a cos a
координаты и импульсы с черточками через координаты и импульсы без
черточек (импульсы преобразовываются так же, как и координаты); тогда
будем иметь:
+ ?шгхг)cosSa+ (&ар"'+ ?°>v)sin2a_
- {^РхРу+т<*гху^
',jTB'{?kp°t+%'*x')sin2a+ %*tyt)cos2a+
4-^j^PxPp + mu>2'xy'j sin a cos a,
Коэфициенты при cos2 а и sin2 a - величины vJx и 4jy. Коэфициенты при sin
a cos a определяются из уравнений преобразований (4) и мы получим
V- =JX cossa~l~JB sin2 a - 2 VTA, cos (wx - wy) sin a cos a
Jy-J* sin2a+7j, cos2a-|-2 YJxJy cos [wx - Wy) sin a cos a.
