Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
данное движение квантовые условия или нет, чгйо можно сделать, зная лишь
р и q как функции .
§ 16. Адиабатическая инвариантность переменных действия и квантовые
условия для многих степеней свободы
Подобно тому, как это было в случае одной степени свободы (см. § 10),
однозначность Л является лишь необходимым условием того, чтобы квантовые
условия
имели некоторый смысл.
Вторым условием будет служить требование постоянства всех У* по
классической механике, не только для изолированной системы, но и для
системы, находящейся под медленно изменяющимися внешними воздействиями.
В действительности здесь тоже имеет место наше утверждение о том, что
переменные действия Ja адиабатически инвариантны до тех пор, пока они
остаются в области свободной от вырождений.
Докажем это точно таким путем, как в случае одной степени свободы.
Произведем с этой целью для переменных qk,pk, удовлетворяющих
каноническим уравнениям
при которых, считая а постоянным, переменные qk, pk переходят в угловые
переменные, а и\ и У* - переменные действия. При этом по (1) §7 Н
переходит в
Таким образом, канонические преобразования уравнения запишутся
Л =nah
дН • дН дрк ' 'dqk
такие канонические преобразования
dS*___________dS*
Pi~dqk ' dwk'
98
Поскольку Н зависит только от Jt следует:
/ - d |dS*\ (dS*\ ¦
к~ dwk \ dt J dwk у <?а )а'
При диференцировани'и по t и a, S* мы рассматриваем, как функцию qk> wk и
t или а; при диференцировании же по wk рассматриваем, как функцию wk, Jk
и а. Изменение Jk в интервале времени (tlt 12) составляет
и
Предполагая медленное, несвязанное с периодом системы
изменение а, можно а вынести за знак интеграла.
Далее покажем, что
и
имеет величину порядка a(t2 - ?,) (срав. § 10).
dS*
-j-- одновременно с S* также представляет периодическую
функцию wv и подинтегральное выражение (1) есть нечто иное, как ряд Фурье
без постоянного члена
так что оцененный интеграл получает форму
и
J
h
где Ат v и 8-функции У и а.
Развернем подинтегральные выражения относительно определенной точки t,
равной 0:
(2) ?'( Ат° + A\at+ ...)e2rJ <(т'0)< + (tS) 'r"! (TV,) <Ч(т8,)
х
= ^?'Л? e2Ki [("0) )]+
{2та л? [(TV*) t2 + (т81) t] +А\t} еы [(т/,) <+№}4-...
* т ¦"
Пусть это разложение производилось в начале интервала {tu t2) и пусть
интеграл распространяется от tx до тех пор, пока
99
не исчезнет интеграл первого члена. Этого можно достигнуть всегда, так
как неопределенный интеграл первого члена представляет .
многопериодич:ескую функцию, проходящую всегда
через 0 на расстоянии величины лорядка Интеграл вто-
рого члена имеет величину порядка аТ или аР. Пусть, далее, параллельно
этому еще существует некоторое разложение в ряд
(2), произведенное в начале оставшейся части интервала, и опять интеграл
распространяется вплоть до того, где исчезает первый член. Будем
развивать этот процесс до тех пор, пока це останется один интервал, в
котором интеграл первого члена имеет конечное значение.
Легко видеть, что, если на пути интегрирования не исчезает ни одно из
произведений (tv), то общий интеграл имеет величину порядка a(t2 - tx).
В случае, если для определенного значения а может иметь место
тождественное (для всех J) соотношение (^=0), - представляется
возможность выбрать w и J таким образом, что будут все несоизмеримы и vp
- равны нулю.
Тогда появляется при 5* постоянные показатели степени [(xv)=0],
содержащие только w9\ таким образом, при диференци-ровании по wa
соответствующие члены уничтожатся. Таким образом ./" останутся
инвариантными и в этих местах вырождения, что для/p, вообще говоря,
утверждать нельзя.
Кроме этих мест тождественных исчезновений (vt) могут существовать еще
такие места, где как раз для рассматриваемых значений Jk (vx) равно нулю.
Тогда мы говорим о случайных вырождениях. Также и здесь J не должно быть
инвариантным при условии, что существует при 5 член с соответствующими
показателями степени (wz) и конечной амплитудой.
Если мы желаем сохранить адиабатическую , инвариантность Jk, необходимо
исключить места, где между частотами, появляющимися в ряде Фурье, для S*
существует случайная (т. е. она инеет место только при рассматриваемых
значениях) соизмеримость.
Как пример адиабатической инвариантности переменных действия, рассмотрим
случай, где механическая система инвариантна относительно оси вращения.
Пользуясь цилиндрическими координатами (г, <р, z) можно, вместо отдельных
(r) ввести в качестве координат угол вращения и разности т*-Тогда -
циклическая переменная (см. § 6) и сопряженный ей импульс есть импульс
вращения системы г. Он будет сохраняться только тогда, когда
потенциальная энергия явно содержит время и до тех пор, пока
инвариантность относительно вращения вокруг оси будет тождественна во
времени. При усилении или ослаблении вращательно-симметричного силового
поля, импульс вращения вокруг оси z остается инвариантным, и мы имеем
частный случай'нашей формулы адиабатической инвариантности переменных
