Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
где а должно быть мало1.
Ближайшей нашей задачей является отыскание связи между переменной
действия J и энергией W, и притом в форме развертки по степеням а; итак:
Поэтому мы пишем
f{q) = {e1-q){q-e^{q - e9).
Для малых а движение происходит между двумя нулевыми поло-
жениями, скажем ех и e.it лежащими вблизи + ; третье
нулевое положение еъ лежит на большом расстоянии от 0. Следовательно, мы
можем написать
1 Эту проблему изучал впервые Богуславский с помощью квантовой теории
сущности пироэлектричества. Фазовый интеграл, по сути, есть период
эллиптической функции, принадлежащей к /(<?), и может быть представлен с
помощью гипергеометрических функций. Для физического применения
Богуславский ограничился малыми айв итоге приходил к такой же формуле.
(3)
p=y2ma-/f(q),
где
(4)
//(<7)=V - etV[ex- q)(q- et) (l - ^ - ^ +... j
и получаем следующую развертку для J:
Л=$ /("I - Я) (Я - е2) dq
Л=$ <7/(et - q)(q - et) dq
J"*"$q*V(et- q){q - ег) dq.
70
Преобразуем интегралы посредством подстановки (срав. при-лож. II)
2q - (e!+e2) . ,
(6) °sin,t|-
Если q проходит значения между пределами вибраций еt и е2,
%
то <1> проходит от -у до +2к, и так находим
2к
J COS ]> о
2тс
i=^~*2 J*cos2<l)dd>+ €l ^ 62 J* sindjcos2^^ j
2 2 2,1
- #2
/ _ (______________ ^2 ]
•/° " I 2~
/i
л=
'jj j J'cos2^^^^' J* sin <1> cos2 tydty 4-
+
2n
(^~2 ~) J"sin2 ^ cos2 ^ 'H
о
I __________~4~#2 /
•'l------------o7~ "'o
л=
_1_
:16
5(el+ei)2 - 4e1e2
Л.
Нулевые положения ei и e2 получим тогда, когда запишем q, как степенной
ряд по а, исследуя при этом, для каких значений коэф ициентов полином /
(q) исчезает. Так мы находим:
(7)
где
^i=q0+aQi+a2Qi< ei=-q0Jra.qi - aiq%,
Я о
2 W /гао)п
?i =
ma>s
Третье нулевое положение получим, если мы найдем, для каких значений
коэфициентов
,_±(.
+Ра+Т а2+...
71
исчезает функция f(q); так мы находим
(8)
IK-м-
Ч
ТП CD о
Вводя эти выражения в уравнения для /0, Jl и У2) получаем после
вычислений
. _ W/, . 15 . W , \
J= 2и- 1+1- а -ч~г + ... 1. ш0 у 4 )
Полагая в первом приближении
r=^7=v"y
и подставляя в скобки для W, наконец, имеем
15аа / \*
(9) W=v0J
4 (2nv(
>а2 ( Д"
о)6(tm)3 ( )
Здесь мы видим, что частотой выступает не vo, но в нашем приближении
15 w
V = V0 - оТо Mi 4-ч а ->' и 2 (2n)eVo тъ
Для изучения атомной системы, приближающейся к агар-моническому
осциллятору, важно установить, какие допускаются переходы по принципу
соответственности между энергетическими уровнями, приведенными в (9).
Чтобы выяснить это, выразим q, как функцию угловой переменной, для
которой
dJ J д] у 2a dJ J /f{q) и, принимая во внимание развертку (5)
- / In dW Г dq
V - 2ae9 dJ J /\ex - q){q - е2)\ 2ea/'
V=TSZ,"("* ?*)•
К = f d(i . K = f
° J}/rK^-Q)(Q - e2)' 1 J /(ei - Я) (<7 - *")
вычислим опять, применяя подстановку (6), и получим
*0 = 4>> = COS*.
W--
w=
Интегралы
72
Если подставить теперь найденные значения (7) и (8) для et, ег, то
получим
1 dW
"'==- ~Т7 о>0 aJ
а / 2W 1
ъ+щу ^в"-++]-
Пренебрегая членами, содержащими а2, можно положить
dW
dJ ~v°
и получим
(10) ^[ф+aj/ (2^m, сои]-
Из (6) для q следует
q=a qx+qe sin ф,
где sinty вычисляется из (10).
Пренебрегая а2, имеем
Q %
q = q0sin2nw - d 2m<o 2 (3+cos4тг*(r)) и окончательно
(И) Я=\/ -=гг-sin 2гс w - a ,л---ра-s- (3+cos 471(r)").
' V 2v0m (2ttv0)4 w? 4
Уже при гармоническом осцилляторе (а = 0) отклонение координаты q от ее
значения достигает порядка а в то время, как отклонение энергии имеет
порядок а2. '
Среднее значение координаты в нашем приближении не равно нулю; оно
составляет
(12) q = - За ,0 -я = - За W
(2 7tv0)4 тг (27tv0)4
Таким образом, при агармоническом осцилляторе координата колеблется возле
среднего значения, отличающегося от равновесия. Колебания получаются не
гармонические (с амплитудой а),, более того: наступают оберколебания.
На основании принципа соответственности в наших атомных системах возможны
такие квантовые переходы, при которых квантовое число изменяется более,
чем на единицу. Вероятность изменения квантового числа на 2 получается
порядка а3 (квадрат амплитуды соответствующего колебания). Тот факт, что
среднее значение длины осциллятора не исчезает, а растет пропорционально
энергии, Богуславский1 использовал для объяснения явления
пироэлектричества. Он мыслил себе (заряженные)
S. Boguslawski, Physikal. Ztschr., Bd. 15, S. 283, 569, 805, 1914.
73
атомы некоторого центричнога кристалла связанными гармонически в
положении равновесия; тогда, с повышением температуры (т. е. энергии),
возникает электрический момент.
Сперва Богуславский придавал средней энергии классическое значение kT, но
немного позже он принял во внимание квантовую теорию, использовав
планковскую формулу резонатора ((5) § 1) для средней энергии.
Дальнейшее применение теории агармонического осциллятора находит место
при объяснении возрастания удельной теплоемкости твердых тел при очень
высоких температурах и при объяснении полосатых спектров 1 (см. § 20).
