Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 24

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 100 >> Следующая

имеет значение + 1; он представляет отношения между ячейками объемов
решеток.
Теорема 5. Все простые периодные системы некоторой функции связываются с
детерминантом±1 линейным целочисленным преобразованием: В дальнейшем мы
будем рассматривать только такие функции, у которых число периодов
простой системы равно числу / периодических переменных.
Таким образом, будем рассматривать лишь /- кратно периодические функции.
Если в нашем/-измерительном пространстве вместо координатной системы
.хf ввести равную координатную систему
оси которой параллельны векторам, соответствующим простой периодной
системе, и для которой эти векторы образуют единицы, то функция F, как
функция w, имеет простую периодную систему
(1,0,0 ... 0)
(0,1,0. . .0) (5) (00.1...0) (0,0,0.* .'lj
В таком случае говорят, что F "имеет простой период 1". Таким образом мы
приходим к
Теореме 6. Линейным преобразованием переменных, относительно которых
функция является периодической, можно достигнуть того, что она получит
простой период 1.
Рассмотрим теперь, в какой степени координатная система .... произвольна.
Первым долгом мы замечаем, что преобразование _ __ _ _
• •)
/6ч (r)а = (r)а+ф*((r)1 W2 ... ЪрУ! у,. . .)
w2 ... Wf,yx у2...),
при котором ф--периодическая относительно Wk с периодом 1 (он не должен
быть обязательно простым) не изменяет ничего в свойствах периодичности
функции F(xt... ,xf, уг....); просто точки решетки координатной системы w
переходят, благодаря смещению, в точки решетки да-координатной системы.
Далее мы видим, что приведенное преобразование является единственным, при
котором этот переход представляет простое смещение, а именно - если
переходить от одной точки w - пространства к эквивалентной ей точке, то
каждое из да* увеличивается на целое число. На эти же равные целые числа
должны увеличиваться и Wk, если произвести такой же переход в
пространстве да*.
77
Таким образом разницы Wk -Wk должны иметь во всех эквивалентных точках то
же значение, т. е. они являются периодическими по отношению Wk и Wk.
Существуют еще и такие преобразования, при которых, хотя и меняется
расположение точек решетки, но точки решетки при этом отображаются на
точках решетки.
Каждой простой системе, упомянутой в теореме 5, соответствует следующее
преобразование: это - линейные однородные преобразования целых чисел с
детерминантом + 1.
Если самое общее преобразование разложить на такое и на некоторое другое
преобразование, то это второе должно иметь форму (6). Итак, самое общее
преобразование имеет вид
w,=¦ 2XikШ + ...wf,yx...)
^2= S ЪьТЮъ. + Фа ((r)1 • ¦ ¦'Wfr Ух-¦ ¦)
(7) ...............
Wf = fkWb + <bf(w1 . . . Wf, _У] ...).
Теорема 7. Все системы переменных, где /-кратно периодическая функция
имеет простой период 1, связываются с помощью преобразований формы (7),
причем ха суть целые числа, система которых имеет детерминант ±1, и -
периодическая относительно kw с периодом 1.
С помощью переменных wt.. .Wf функцию F можно записать очень легко,
именно ее можно представить рядом Фурье
ОО
(8) F(w? СХТз. . . т/.е2"г 4-уеу
-1-7 = -00
Или короче
(8') F(w) = '9ia
т
Умножая функцию F на ?"аг'г(т'"0 и проинтегрировав по единичному кубу
пространства w, получаем
f F{w)e~2ni dw=? Ст • /е2к1 к(tm)) - dw=CV.
т
Коэфициенты развертки Фурье можно вычислить таким образом из функции F
(9) Ст = JF (w) е - dw.
Если функция F(w) реальна, то С,,. .. т/ и С--,____________-со-
пряженные комплексные величины.
Примечание. Эту теорему можно доказать аналитическим путем. Найдем
преобразование
wt=fk (% ЙГ2 ... wft, ух...),
78
при котором относительно j первых переменных сохраняется периодичность
функций
F(wuw2 ул.. .)^f(w1w2 ...wf,y[,...).
Если положить _ _ _
/* (">11-1. wk',
то ыожно записать:
F(w1\ w2 .. -wf', y1) = F(w1 +1, w2... wf, Ух ...) = F (wlt w2...wu уг..
.) =
•*=F(wlw2...wf,y1...).
Но это означает, что и wk отличаются лишь на целое число
Л ((r)i+1. • • -~Wf, У1 • • •) =/* (Щ> Щ.. .щ, у, ...)
Соответственно можно заключить, что
fk(w!- . .даг-Ы. . ¦wf,y1.. .) =fk{w>i, . • • wf, yx¦ . -)+rkl.
А это возможно при условии, если /4 имеет форму:
fk(W...Wf, wi+(щ... wf,y1...),
где tyk- периодическая функция относительно w с периодом в 1.
§ 14. Разделимые многопериодические системы
Первая наша задача состоит в том, чтобы перенести отношения, найденные
для периодических систем с одной степенью свободы, на системы со многими
степенями свободы. Для вполне произвольных систем введение угловых и
действующих переменных не имеет никакого смысла, так как они связаны со
свойством периодичности.
Рассмотрим простой случай, когда функция Гамильтона для системы
распадается на сумму членов, каждый из которых содержит только одну пару
переменных qit pk
H=H1(q1,p1) + ---+Hf(qf, pf).
Тогда уравнение Гамильтона-Якоби решается разделением переменных.
Положим
где между Wk существует зависимость:
Wt+ - + Wf=W.
Здесь видим, что движение соответствует совершенно независимым /-
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed