Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
где в нашем случае wx-wy представляет постоянную; постоянные Jx и Jy
должны перейти в постоянные Jy-
Преобразование, сводящее угловые переменные и переменные действия одной
прямоугольной координатной системы к таковым другой системы, не
представляют возможности преобразования угловых координат и координат
действия между собой. Более того, появляется постоянная разница угловых
переменных в уравнении преобразования для J.
Такой способ преобразований мы еще встретим в другом месте и ниже, в
более общем виде, в случае вырождения.
Может оказаться, что функция Гамильтона не распадается аддитивно на
члены, каждый из которых зависит от пары переменных qкрк, но уравнение
Гамильтона-Якоби можно при этом решить с помощью разделения переменных,
т. е. с помощью формулы
*^=*^1 (9i)+*^2 (9г)+.....
Тогда
dSt А
Pt = ~g^ функция только одного qh.
Предположим теперь, что каждая^ из координат q* ведет себя так, как это
мы имели ввиду выше (§ 9), рассматривая системы с одной степенью свободы,
т. е. qk периодически во времени колеблется между двумя пределами
либрации или соответствующая рк есть периодическая функция qk (случай
либрации и вращения). Так как интегралы, взятые по всему периоду
(12) Ji=§Pidqi
являются постоянными, мы можем ввести Л, вместо а, а2.... как постоянные
импульсы.
82
Тогда функция Н зависит лишь от Jk; S можно записать, как функцию qk и
У*. Теперь вместо qk вводятся по отношению У* сопряженные величины wk,
связанные с qk следующим уравнением:
(13) dJk
Теперь мы утверждаем, что таким образом введенные переменные wkJk
обладают теми самыми свойствами, что и та/ и У в случае одной степени
свободы, а именно что qk многопериодические функции wk с простой системой
периодов
(1,0,0....0)
(0,1,0....0)
(0,0,1....0)
(0,0,0....1).
Найдем изменение wk за время полного цикла изменения координаты qh, при
условии постоянства всех остальных координат:
г j
Произведя диференцирование в' частных производных уравнениях (13)
v дщ = у dSt _ д ^dSt д dSh
dqh ~ydJkdqh "dJk^dqh ~dJk dqh
и, интегрируя, имеем
л д X dSh йп dJh f1 ifl=k)
Дл Wk =-тг dah = -5-r-={ 4
dJk J dqff dJk [o {hrfzk)
Принимая во внимание функции ql(wl . . . wf), увеличивая Wk на 1 и
оставляя при этом другие w неизменными, мы заставляем qk пробегать один
период, но другие^, хотя могут и не зависеть от Wk, но возвращаются в
исходную точку, не проходя периода (например, если бы qi проходили один
период, то w, увеличились бы на -1). Из этого исходит наше утверждение.
При этом может случиться, что определенное q зависит не только от Wk,
следовательно, она не вполне/-кратно периодическая; тогда система всех q,
конечно, будет все же зависеть от всех Wk .
Например, в нашем рассмотрении пространственного осциллятора каждая из
координат зависит лишь от одного ш.
При любых обстоятельствах qK можно представить в виде ряда Фурье
qk=YiC<K!-e(tm)<-(tm)\
83
Из канонических уравнений получаем w, как функцию времени
не будет периодической; это будет иметь место только тогда, если между v
существует /-1 рациональных соотношений (напр., когда все v равны друг
другу). Именно периодичность
но это и есть (/-1) рациональные соотношения между v.
Наоборот, из (f- 1) независимых линейных однородных уравнений с целыми
коэфициентами
можно определить v* с точностью произвольного множителя v
И здесь также ясно видна их периодичность.
В случае непериодичности, движение аналогично движению носящему при двух
измерениях название движения Ли ссажу, замыкающегося лишь при условии
существования некоторого рационального соотношения между v; это значит,
что траектория движения в ^-пространстве подходит произвольно близко к
любой точке единичного куба (что доказывается в приложении 1), и если по
этой причине она ограничена этим кубом,
(15)
В общем случае записанная, как функция времени t
(xv) = x1v,-l-T2v2+ . . . +Тf'if ('E8)-=T|8,-f-Ta$2-b • • •
движения обозначает, что отдельные периоды - имеют общее
к
кратное
существует соотношение
Tjj Vj-f-TjjVj"!- ... О
*41 VH22V2+ • • • + %>/=< О
4-1,1 V,+v-j, 2 V2+ • • • • +v-i*/y=°
V4=VT't,
где можно выбрать целым числом.
В этом случае ряд Фурье для qk получает вид
qk = е2т- ' ... -и/ 'у)'/ м-5)]<
г
84
то каждая точка траектории заменяется эквивалентной точкой единичного
куба. Переход от w - пространства к q- пространству означает непрерывное
отображение; при этом путь движения ^-пространства проходит произвольно
близко возле каждой точки /-измерительной области.
Астрономы называют такие движения условно периодическими. Из того факта,
что функция S после каждого раза возрастает, если координата qk пробегает
период, а другие q остаются неизменными, можно заключить, что функция
(16) S*=S-%ivkJk
k
представляет многопериодическую функцию w с простым периодом 1.
В самом деле, если wt изменяется на 1, а другие w остаются неизменными,
то qk пробегает период, и другие q возвращаются к исходному своему
значению, не пробежав периода, т. е. S увеличивается на У*, и S* остается
