Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Итак получаем (сравн. 5) в приложении II:
/ 2 2 4
'пио у--ч I w "V* \
Уг=-2--гя(6-У - а* - 2 щ j •
Выражая здесь а? и аг через У<р и уг, получаем для энергии
(20) B7=v(2yr+y?)+vsy2; v-.
Из уравнений (19) видно, что уг и Jv имеют совершенно другое значение,
чем величины ]х и Jy в случае разделения в прямоугольных координатах;
например, если представляет двухкратный импульс вращения вокруг оси г,
88
то J, будет иметь прежнее значение; далее, множитель при v, именно 2
Jr+]<?, обозначает то же самое, что и раньше Jx+Jy (он составляет м-тую
часть энергии осциллятора, где в обоих случаях одного и того же значения
величина J, равна Oj.
Таким образом, здесь имели бы смысл квантовые условия
2 Jг J (r) ~ tih Jz°=nth.
Напротив, определение J, и J-f в отдельности, с помощью таких условий
приводит к совершенно другим квантовым путям, чем соответственное
определение Jx и Jy в случае определенной прямоугольной координатной
системы.
Рассмотрим теперь более подробно связь между w t, wu, Jx, Jy и wr, w-f
,J,, Jy Во-первых
Jtp и 2я p<q ,
где рч) =m (xy -y'x) - компоненты импульса вращения вокруг оси s.
Выражая здесь по (9) § 9 х и у через угловые переменные и переменные
действия, имёем:
(21) Л = VJX Jy sin 2к (wx-wy).
Здесь wx-Ьу - константа. Напротив
2 = 2
<0
равно переменным сопряженным относительно Jy .
Выражение для Jr мы получаем из уравнения
2%/г + "Лр
а именно
Л= j(Jv+Jy) - ^VJxJy Sin2тl(wx-wy).
Наконец, уравнение для wr можно получить из уравнений движений, если
предварительно, подставить вместо Jr и найденные для них выражения. Тоже
самое и здесь: преобразование, связывающее систему переменных wr да? Jr
J,Р с системой wxwyJxJy, не устанавливает никакой зависимости между w и
J; напротив того, в отношение, связывающее Jy Jr и Jx Jy, входит
постоянная разница WT - W .
Мы ниже увидим, что такое свойство имеет любая вырожденная система.
§ 15. Общие многопериодические системы. Однозначность
переменных действия
До сих пор мы подчиняли квантовой теории лишь такие системы, движение
которых можно было определить простым разделом переменных.
Теперь исследуем вопрос о том, когда можно вводить угловые переменные и
переменные действия, допускающие применение квантовой теории.
Для этого необходимо J определить соответствующим постулатом таким
образом, чтобы были возможны только линейные
89
целочисленные преобразования, содержащие детерминантztl, так как лишь в
этом случае имеют смысл квантовые условия
(1) Jk-nkh.
Обобщая наши рассуждения, обратим внимание на механические системы *, при
которых функция Г амильтонаЯ (qvpj...) не содержит явно времени.
Предположим, что с помощью канонического преобразования, при наличии
производящей функции
S (q-y qp J1), можно из qh и рк получить
dS dS
(2) Рк dq; Wk~ dJk
новые переменные таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
(A) Положение системы должно периодически зависеть от wlt обладающих
простим периодом 1. qk, однозначно определяе -мые положением, должны быть
периодическими функциями wb с простым периодом 1. Если qk определена
положением, только с точностью до кратного числа постоянных (напр., 2гс),
то в этом случае должен быть периодическим модуль этдх постоянных.
При таком условии существуют функции (напр. qk), являющиеся в собственном
смысле слова (§ 13) периодическими по отношению к wk.
(B) Функция Гамильтона переходит в функцию W, зависящую "только от Jt.
Из этого следует, что wk-линейные функции времени и Jk-постоянные
функции. Функции qk(wi...wf_) имеют кубическую периодическую решетку в
и"-пространстве с длиной сторон ячеек 1.
Легко показать, что условиями (А) и (В) величины Jb еще не определяются
однозначно (вплоть до целого численного преобразования с детерминантом
zfcl), а именно: простое каноническое преобразование, позволяющее
сохранить условия (А) и (В), будет
(3) ^ = ^+/ЛЛ--- Jf)
К ) Jk = Jk± ck,
где ck-константы. Произвольность в определении постоянных ск нарушает
возможность применения квантовых условий (1). Если, например, Jk
определить, как некоторое целое число, кратное А, то Jk, вообще говоря,
такими не будут; поэтому Мы должны исключить эту произвольность. Сделаем
такое исключение, приписывая w и J и свойства, найденные нами выще в
случае разделяющихся систем.
(C) Функция
(4) =
k
1 Приведенные здесь условия взяты из работ J. М. В u г g е г s: Het
Atoomraodel van Rutherford - Bohr (Diss. Leyden) Haarlem 1918, § 10.
90
представляющая производящую функцию наших преобразований (qtpk->wkJk)
Wi"')
(5) Л=-----d^~S*(qi "'!¦••)
должна быть периодической функцией wk с периодом 1.
При этом не имеет значения, будем ли мы рассматривать 5* как функцию qk и
wk или как функцию Jk и wk, так как qk также периодическая относительно
wk.
Если в (С) предъявлять требования, чтобы простой период был равен 1, то
(А) оказывается излишним. Вычисляя, например, из второй системы уравнений
qk, как функции wt и Jk, мы видим, что они будут периодическими
