Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
класса - заполненные при Т = 0(^. = Р) и вакантные при Т = 0(А = а).
Обозначив через Ф точную волновую функцию основного состояния системы (в
пространстве чисел заполнения), мы имеем
а+а3Ф = Ф, а+ааФ = ааФ = 0. (VII.2)
Условия (VII. 2) позволяют без труда найти точные выражения для
одночастичной и двухчастичной запаздывающих функций Грина в и
G(X, Л';/)Ц(ах|4))1+) = /е(/)([ах (0), а+, (/)]+) (VII.3)
II
*(±) (*" Л2; А3, | =
= /0 (t) ( [а+ (t) аи (t),a+ (0) (0)]±). (VI 1.4)
Угловые скобки в правых частях равенств (VII. 3) и (VII. 4)
обозначают
усреднение по основному состоянию рассматриваемой системы, т. е.
квантовомеханическое усреднение с волновой функцией Ф.
В задаче с гамильтонианом (VII. 1) уравнение движения для функции G имеет
вид
О-JF ~ ° " Z V (Л* I а^"<+) = - eU'"
(0. (VII.5)
X"
Пользуясь правилами коммутации для операторов аК, а* и равенствами (VII.
2), легко убедиться, что здесь имеет место точное расцепление:
((aV'aX"a?. | a?))<+> = {к, к ; /). (VII.6)
Символ б^/р означает, что состояние к" непременно должно принадлежать
классу р, т. е. суммирование по к" в левой части (VII. 5) производится
только по состояниям этого класса. Подставим (VII. 6) в уравнение (VII.
5) и выполним преобразование Фурье по времени t, полагая
+ оо
G (к, к'; t) - jj <iE e~iEiG (к, к'; Е).
Получим (к - а или к = р)
G(Kk'\E) =------------(VI 1.7)
2я Е - Ек
где энергии Е\ даются выражениями (II. 16.6).
358
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для функций К<±} получаются следующие уравнения движения:
('ж-г* +
-10 (>2. О - V 0" Ь'Ша+а+,агаК21 а+а^))<^ =
= - а (0 <№*,. <aj±>=-6 ") л±- <VII-8>
Величины А± определяются этим равенством. Пользуясь правилами коммутации
и формулами (VII. 2), легко получить следующие соотношения:
((ata?'a\'ak-1 а1ак))ш = бгр/с<±) (*1> Ч К> 0 --Т {(б^Л'±бЫ ^(+) (Л-1, Ч
К Ч о + (^Д'^г) ^(_) (>-1. ^ Л3, Л4; <)}.
(VI 1.9)
Комбинируя это с уравнением (VII. 8) и выполняя в последнем
преобразование Фурье, получим систему уравнений для функций К(+) и
К(_):
О - 4 + О *(+' + v (к ч л+-
(VII.IO)
(? - < + < ) /С("" + V (Л" Х2) К(+) = - А_.
4 *
Здесь, как и в (VII. 7), Е^, суть точные одночастичные энергии (II.
16.6).
По определению (VII. 4) функция К(±)(^ 1Д2; t) отлична от нуля
лишь при Xi = |3, %г - а. Принимая это во внимание и вычисляя средние
значения антикоммутатора <4 + и коммутатора Л_, находим окончательно
К(-) (Р, а; Лз, Я,4; ?¦) =---------. VV-------------_ (VII.11)
2я ?-?а + ?р+К(Р, а)
Полюсы этой функции соответствуют энергии возбуждения системы при
"перебросе" одного электрона, т. е. энергии возбуждения пары "электрон в
состоянии а и дырка в состоянии р". Видно, что эта энергия дается
выражением (II. 16.8), чего, разумеется, и следовало ожидать.
VIII*. Диагонализация формы 62Qn
Вблизи круговой орбиты
? (т) = R {cos (2nr/t) - 1, sin (2ят//), 0) (VIII.1)
запишем близкие к ней траектории г (т) в виде г (т) = ? (т) + бг (т),
ОО
бг = ? (а" cos + b" sin ), (VII 1.2)
0
00
прячем a0 = ~ art. С учетом сказанного в основном тексте (§ III. 4) об л-
1
ПРИЛОЖЕНИЯ
359
инвариантности Qк и Q" относительно поворотов траектории как целого,
можно считать, что
ai = {R V2 c°s (ф + я/4) - R, 0, 0} = {а1х, 0, 0}, bi = {Я V2" sin (ф +
я/4) sin ф, R л/2 sin (ф + я/4) cos ф,
0}s (VIII.3)
= {bixi biy, 0}.
Очевидно, величины
Ро (т, т') = ? (т') - ? (т') =
= 2R sin
я (т - т') j sin я(т^О t cos n(T+_Tl _ oy (vmA)
t
p (t, t') = Po (T, t') + 6p (t, t') =
OO
/ /ч i V1 • яя (т - т') Г . rt/г (т +1') . .. пп(х+х')Л
= Po (T, t') + 2^ Sin -----1 - 2a" sin-----------------L + 2b" cos ------
---------- I
/1=1
(VIII.5)
обладают свойствами периодичности:
Po (т, т') = ро (т ± t, т') = р0 (т, т' ± <). ,"П1
бр (т, х') =s бр (т ± т') = бр (т, Т' ± О-
Для функций Ф(т, т'), обладающих этим свойством, справедливо
преобразование
t t Л 2л
^ dx' Ф(т, т')=-^2- ^ ^ (-^(X + Y). 2^(Y-X)), (VIII.7)
0 0 0 0 где
Х = я(т -т ')/*, у = 11 (т + r')/t. (VIII.8)
Воспользуемся этим при анализе величины AQn (см. (III. 7.22)). Точнее,
будем рассматривать несколько более общее выражение, отвечающее
корреляционной функции
? (г) = ф,/ (ar). (VIII.9)
Используя ее, мы имеем вместо (III. 7.22) л 2л
о о
+ Ш-г (т) -МНМ!,. (",а) + " "Ей!! г ). (Vin.10)
Ро Ро Ра )
Производные здесь берутся по всему аргументу:
df (г)
Г ("Ро) ¦¦
dz
, (VIII.11)
г=аро
При этом величины f' и f" не зависят от угла у, поскольку
I Ро (т, т') | = р0 (т - т') = 2R | sin х I- (VIII.12)
360 ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому в (VIII. 10) можно проинтегрировать по у. Введем обозначение
2л
(ф (V, %))у = \ dy Ф (V, X). (VIII.13)
Легко получить выражение для
/ (брро) \
/ (Дрро) \ .
\ Ро /v'
\- ------) = (ви + biy) sin %. (VIII.14)
\ Ра г у
Далее,
ОО
((бр)2) -2 ? (a2+b2)sin2rt%. (VIII.15)
rt-1
Наконец,
/ (5рр0)_\ _ J_ ^ + s;n 2 х + J. _|_ (д _ ?,^2] sin2 2^ +
\ Ро /у 2 2
ОО
+ Т - а"^2 sin2 п% + 2 ~ (6"+2- у + a"+2- *) X
П= I
X Sin п% sin (п + 2) X + (6п+2, у + а"+2, л:)2 sin2 (и + 2) х] +
ОО
