Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
большой ширине запрещенной зоны:
ПРИЛОЖЕНИЯ
875
Так как Йео порядка Es, мы получаем, используя известное представление 6-
функции,
/(s + s')"i5-a(e+e'). (XIII. 7)
п
XIV*. Квазиклассический расчет функции Грина для электрона в примесном
случайном поле
Вычислим здесь одночастичную функцию Грина для случайного поля (II.
7.23), обусловленного примесными центрами. При этом будем применять
модифицированное квазиклассическое приближение, основанное на неравенстве
(V. 4.5). Исходим, как и в случае гладкого поля, из общих формул (XII.
13) - (XII. 15). Для реализации оператора
Z. = S,e-'irR (XIV. 1)
поступим теперь следующим образом. Заметим, что в выражении
- isTр__ . isTр
е rF (R, г) е R
в дифференциальном уравнении (XII. 16) для 51 в члене п-го порядка квази-
классического разложения по степеням Й2, помимо прочих, имеется следующее
слагаемое:
V(R'r>- (XIV. 2)
В силу кулоновской особенности мы получаем теперь вблизи каждого
примесного центра сингулярности вида Д? (1/#). Легко убедиться в том, что
в п-м цорядке выражение (XIV. 2) представляет собой наиболее расходящийся
член. Идея модифицированного квазнклассического подхода заключается в
суммировании по п всех наиболее расходящихся членов типа (XIV. 2). Это
суммирование дает перенормированную потенциальную энергию F(R, г, s) в
виде
F (R, г, s) = e~Is7V (R, г). (XIV. 3)
Пользуясь представлением для U(R r/2) в виде интеграла Фурье и
дифференцируя под знаком интеграла, получаем
F (R, г, s) = ^ dq U (q) ехр (iqR - ish2q2/8m) cos С/гЧг), (XIV. 4)
где U(q) есть фурье-образ случайной потенциальной энергии, а т -
эффективная масса в соответствующей зоне. Перенормированная потенциальная
внергия (XIV. 4) содержит новую характерную длину I - Vsh2/m • помимо
длины экранирования, входящей в t/(q). В дальнейшем мы применяем
квазиклассическое приближение к функции (XIV. 4) *). На расстояниях
порядка 7 от данного центра квазиклассическое приближение будет
неприменимо (параметр разложения обращается в единицу). Отношение вклада
от таких областей к вкладу от основных областей, размером порядка радиуса
экранирования г о, будет мало при условии
P<.r20. (XIV. 5)
•) При этом следует проявлять осторожность, поскольку "множитель
сходимости" ехр(-ish2q2/8m) в (XIV. 4) не экспоненциально убывающий, а
рсциллирующиц.
376
ПРИЛОЖЕНИЯ
Как видно из формул (V. 4.17) и (V. 4.18), характерные значения s,
существенные при вычислении коэффициента поглощения, определяются
условием s-1 ~ (па|)2/5 Ев. Подставляя это в выражение для 2, видим, что
условие (XIV. 5) эквивалентно равенству (V.4.5). Таким образом, мы
получаем уравнение для Si в виде
'• ^§Г = ^ { Tt + F (R, г, s) + i^ (VrF (R, г, s)), Vr}. (XIV. 6)
Введем теперь оператор S2 аналогично (XII. 18);
S1 = S2exp (^1VR ), (XIV. 7)
где
i (R, r, s) = VrF (R, r, s). (XIV. 8)
С принятой степенью точности имеем
ехр (if *0 f (R'r- exp (~ 4" ^Vr) = F (R + T r's)'
Таким образом, для оператора S2 получаем уравнение dS2
1 ds
= S2{tY + F (r + ^-1, r, s)}. (XIV. 9)
В дальнейшем член "jjr S окажется несущественным, но пока это неясно. По-
($2 ч ^2
R + ~2~%, г, sj не разложена по ?, как это
делалось в Приложении XII при выводе уравнения (XII. 19).
Поступая теперь аналогично с оператором Тг, положим
52 = S3 ехр (- isTt) (XIV. 10)
и
53 = S4exp (4-riVr). (XIV. 11)
где
4-1H-f',3(R+Tr5'r's) (X,VI!)
О (и + i-l. г. ") - t- г, ) (XIV. 13)
Уравнение для S4 таково:
i^-S.0(R + 4l,r + 44,S). (XIV. 14)
Интегрируя это уравнение и используя формулы (XIV. 1), (XIV. 7), (XIV.
10)
и (XIV. 11) для вычисления L8{г), имеем
is
- i ^ ds' G (r + 1, г + s') +
I 0
+ <-^№)-/S-gp + /(kr))}. (XIV. 15)
ПРИЛОЖЕНИЯ 377
Подставляя (XIV. 15) в общее выражение (XII, 13), мы получаем
одночастичную функцию Грина в случайном поле примесных центров. При
ррсчете ме-ждузонной диэлектрической проницаемости по формуле (V. I.I4)
мы воспользуемся упрощающим неравенством (V. 4.6). Тогда в функции Грина
валентной зоны (/и, = т0) можно перейти к пределу оо. Получим
ОО
G(R, г со) (г) ^ ds ехр | Is (fico + Eg) -
в
\ ds' Srf?'exp(/qR + ;V^-)t/
(q)
(XIV. 16)
В силу наличия б-функции в правой части (XIV. 16) мы можем при вычислении
междузонной диэлектрической проницаемости положить г = 0 в функции Грина
для зоны проводимости. Тогда имеем
ОО
G? (R, г; Ш) и0 = J ds J dk exp { Is (""d - -^) -
0
5
- i J ds' 5 dq exp [,• (qR + ~ g) - is' -gl] U (q) } . (XIV. 17)
s2
Подставляя в - | характерные значения s, видим, что этот член может быть
опущен. В таком виде функция 0^ используется в дальнейших расчетах.
Излагаемую здесь ехему расчета легко перенести и на случай наличия
постоянного внешнего поля - надо лишь добавить к K(R, г) слагаемое e?R В
частности, уравнение (XIV. 9) приобретает теперь вид
. dS2 ' -2 4 ' *2
1 ds
=S2[Tt+F (r+^-(5+|s), г, s)+e (s. R+~ (!+!*)) }, (XIV. 18)
где
5, = (XIV. 19)
Аналогично, для Si получим . dS. f '
1 ds
= S4{g(r + 4 (&+!*)> r + 4-1l s) +
+ * (S, R + ^ h + (R- r + -f П. ")) }• (XIV. 20)
