Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
понять, просто вычисляя концентрацию электронов п в той области энергий,
в которой плотность состояний р(?) непрерывна. Для этой цели надо лишь
соответственно ограничить область интегрирования по ? в общем выражении
для полной концентрации электронов ([14], § 5):
ОО
п = 2 (2л)3 ^ dp ^ dE пр (Е) Im Gr (р, Е).
- ОО
Мы имеем
ОО
п = 2 (2л)3 ^ dp ^ dE пр (Е) Im Gr (р, Е),
Во
где, как и в § 1.5, Ец - минимальная энергия, при которой функция р (Е)
отлична от нуля и непрерывна.
При Ео - F " Т равенство (I. 25') дает
п ~ ехр ( - г?°), (I. 26)
(I. 25) (I. 25')
чем и доказывается вторая теорема о корреляции.
350
ПРИЛОЖЕНИЯ
Наконец, третью теорему о корреляции можно получить просто из закона
сохранения полной энергии системы "вещество + фотоны" с учетом равенства
(1.6.13). Действительно, поглощение светового кванта (или квантов) можно
формально представить себе как процесс, состоящий из двух этапов. На
первом этапе один электрон изымается из системы (или добавляется в нее) и
она переходит в "промежуточное состояние", имея в нем на один электрон
меньше (больше), чем в начальном. На втором этапе электрон возвращается
(изымается) вновь, причем так, что конечная энергия системы N электронов
отличается от начального своего значения.
Обозначим через Et, к, Ет, лг±( и Ef, N собственные значения энергии всей
многоэлектронной системы соответственно в начальном, промежуточном и.
конечном состояниях. Рассмотрим для простоты однофотонный переход,
обозначая частоту света через соо. Очевидно,
/гш0 = EfN - ЕN ss Е2 - Е{, (I. 27)
где
Е2 = Ef,N - Ет, N ± 1> El - Ei, N - Ет, N ± 1-В силу (1.6.13) это
доказывает нашу теорему.
II*. Поле упругих деформаций
Рассмотрим кристалл с элементарной ячейкой, содержащей г атомов. Заменяя
часть их хаотически расположенными атомами примеси, мы получим-
неупорядоченный раствор замещения. Положение узлов решетки в нем можно
охарактеризовать, задавая номер атома в данной ячейке I и тройку
координат центра элементарной ячейки g. Конфигурацию атомов растворенного
вещества можно описать [31, 61], задав совокупность случайных величин
c(g,l\) по определению c(g, /) = 1, если узел {g, /} занят атомом
примеси, и c(g, I)-0, если узел {g, /} занят атомом растворителя.
Хаотичность расположения примесей в решетке может быть обусловлена двумя
причинами.
Во-первых, при конечных температурах всегда имеют место термодинамические
флуктуации состава [31]. При этом роль "примеси" могут играть и
нерегулярно расположенные атомы тех же веществ, которые при Т = 0
образовывали бы твердый раствор.
Во-вторых, как обычно в примесных полупроводниках, хаотическое
распределение атомов примеси в пространстве может быть навязано условиями
легирования. Такое распределение метастабильно; однако время жизни его
может быть очень велико (годы и более).
В силу различия атомных радиусов растворенного вещества и растворителя в
решетке возникнут статические деформации: положения равновесия атомов
изменятся по сравнению с идеальной решеткой. Обозначим сдвиг данного
атома из положения равновесия (вектор смещения) через u(g,/). Значения
компонент и вычисляются с помощью уравнений механики. Соответствующий
расчет можно найти в книгах [31, 61]; мы здесь лишь формулируем
результаты. Ограничимся при этом областью сравнительно малых флуктуаций,
в которой справедливо правило Вегарда [31]. Оказывается, что в этом
случае решетка испытывает деформацию двух типов - однородную и
неоднородную. Первая, не нарушая пространственной периодичности системы,
приводит лишь к изменению постоянных решетки; вторая, локализованная
вблизи примесных атомов, приводит к случайным отклонениям структуры от
периодической. Таким образом, вектор смещения можно записать в виде *)
и (g, /) = u(0, + ii(1)(g, /). (II. 1)
*) Принятые нами обозначения несколько отличаются от использованных в
[31, 61].
ПРИЛОЖЕНИЯ
351
Однородная деформация, описываемая вектором и(0), получилась бы при
строго периодическом расположении примесных атомов; неоднородная же
связана с флуктуациями в их распределении. Соответственно величину c(g,l)
также можно представить в виде
с (g, /) =¦<?(/) + Дс (в, /). (II. 2)
Здесь через c(l)= (c(g,l)) обозначена средняя атомная доля примеси в узле
I.
Удобно представить u(1)(g, I) и Ac(g,l) в виде разложений Фурье, полагая
u<'> (g, /) = О -1 ? е' кги (к, /), (II. 3)
к
Ac (g, /) =- О-1 ^ е1кв Ас (к, /). (II. 4)
к
Здесь G - общее число элементарных ячеек в решетке, к - волновой вектор,
определенный в первой зоне Бриллюэна для решетки растворителя.
Функцию u(k,/) можно представить в виде разложения по собственным
функциям динамической матрицы растворителя, описывающим нормальные
колебания последней.
Рассмотрим сначала растворитель с решеткой Бравэ. Тогда г = 1, индекс I
можно опустить, с (/) = с, и нормальные колебания принадлежат только к
акустическому типу. При этом для u(k, /) = u(k) получается [61]
V еа(°' k)e&(a, k)F&(k)
"a 00 = > -----------j-------------Ac(k . (II. 5)
