Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
фурье-образ скалярной компоненты полной электромагнитной вершинной части.
Он определяется *) равенством
бх") ебА0 (х) ~~
= Ц dP' dP" Г101 (р'> Р") ехР [- 1 (р'> х' - х) + t (р", х" - х)], (I.
2)
где х, х' х" - совокупности трех пространственных и одной временной
переменных, - А о - скалярный потенциал.
Напомним, что, помимо обычного усреднения по основному состоянию системы,
в определение функций Грина (а потому и вершинной части) у нас входит
также и усреднение по случайному полю. В частности, в
*) Принятые определения, равно как и доказательства дальнейших
утверждений относительно общих свойств функций Грина, можно найти,
например, g книге (14].
ПРИЛОЖЕНИЯ
345
одноэлектронной задаче мы имели бы (сравните с (1.6.9))
Г ( ' F\ ___ 1 / V ^ (Х) ^ (Х,) \ "
04
X, ?)- 2я е _ + ,gTi (?) (1.3)
где е->+0, а т}- знаковая функция:
т) (Е) = sign (j? - F) = | _ J'
В дальнейшем будет удобно воспользоваться обычной записью
°с {Р) " " (2ji)j Ро - Я (р) - Л[с (р, р0) ' (Г-4)
где Мс - массовый оператор*), сопоставленный причинной функции Грина, а
Е(р)-энергия электрона, соответствующая решению вспомогательной задачи с
периодическим полем. В аналогичном виде можно представить и опережающую и
запаздывающую функции Грина, причем при Т = 0 имеют место соотношения
Gc (р) = 0 (pa - F0) Gr (р) + 0 (F0 - р0) ва (р),
Мс (р) = 0 (Ро - F0) Mr (р) + 9 (F" - ро) Ма (р). (1-
Далее, при любой температуре и р0 е Re
Re О,- (р) = Re Ga (p), Гт Gr (p) = - Im Ga (p). (1.6)
С помощью массового оператора удобно учитывать как взаимодействие
электронов друг с другом, с фононами и т. д., так и их взаимодействие со
случайным полем. В последнем случае, согласно (1.6.9), в области
дискретного спектра Im М, = 0, коль скоро мы пренебрегаем взаимодействием
электронов с фононами.
Выполняя явно дифференцирование по k в формуле (I. 1), мы получаем ai/
((r)) = ofj + of}, d-7)
где
оо
°(</ = Ш(2я)4 sp \ dp Pi l!m \ dP^iPat х
t -> +0 J
- оо
xrJJ^p, p0 + -y; p. Po--f-){oc (p, pa-^JLGc (p, Po + ^ -
-Gc (p, Po + -|-)JLgc (p. Po--f-)}, (1.8)
OO
ai2/==4r(23t)'' Sp \ rfPP( Iim \ dpQeiPat X t -&¦ -f-0 %/
- oo
XO"(p.Po + |-)0l(p,Po-2-)[J7rr(P+4, (1.9,
*) Это определение Mc отличается от принятого в [14] множителем (2л)8.
346
ПРИЛОЖЕНИЯ
IA
1
При наличии поверхности Ферми, когда компоненты квазиимпульса при
энергии, близкой к фермиевской, представляют собой хорошие квантовые
числа, первая теорема о корреляции справедлива тривиально. По этой
причине мы будем рассматривать лишь характерный для неупорядоченных
систем случай, когда затухание фермиевских квазичастиц всюду конечно и
представление о четкой поверхности Ферми оказывается неоправданным*). При
этом фигурирующие в дальнейшем функции G,(p) и Ga(p) не имеют полюсов на
вещественной оси ро', далее, они суть непрерывные функции р.
Рассмотрим сначала второе слагаемое (1.9). Здесь удобно воспользоваться
графическим методом. Вершинная часть Г^0) (р + k/2, р - k/2) определяется
суммой диаграмм с тремя концами - одним фотонным и двумя электронными,
причем первому соответствует 4-импульс k, а второму и третьему р + ?/2 и
р - k/2 (рис. 31) (сами концы в диаграмму не включаются), В отсутствие
каких-либо взаимодействий (в том числе и взаимодействия электронов со
случайным полем) мы имели бы
Г<0)(р', р") = 1.
В общем случае можно написать
Г<°> (/>', р") = 1 + Л (р\ р").
(1.10)
(1.11)
Любое взаимодействие, встречающееся в нерелятивистской квантовой
механике, можно представить как взаимодействие, переносимое некоторым
квантовым бозевским полем (последнее может носить и чисто вспомогательный
характер). Таким образом, типичные графики, входящие в состав Л, имеют
вид, представленный на рис. 32. Пунктирным и сплошным линиям там отвечают
"одетые" бозонные (Dc) и фермионные функции распространения; все вершины,
однако, рассматриваются как затравочные, (I. 10), в силу чего и надо
учитывать диаграммы типа рис. 32, в (их, как мы увидим, удобно
рассматривать попарно). Рассмотрим графики типа рис. 32, а, б порядка 2п.
С точностью до несущественного сейчас множителя им отвечают выражения
п
А*п ~ Ш Dc (it) *ярв (Р+ + Ь) а с К + *, + *2)...
хф-- Ё q\"G°(p-~qin-rqtia<!(p-~qt^ (L12)
Здесь для краткости введены обозначения:
р± = р ± k/2-,
(I. 13)
*) Разумеется, понятие "уровень Ферми", будучи чисто термодинамическим,
остается в силе.
ПРИЛОЖЕНИЯ
347
/ь • ••> U - какие-нибудь числа из набора 1, п. Дифференцируя (Т. 12) по
ku получим сумму членов вида
\Gc(P--"in_k-"in_k+- ••• - Ьп)-Щ°с(Р+ + ^+Я2+...+<?"+!)-
- Gc(P+ + ql + q2+ ... + <1к + 1)щ°с (Р- ~ Я1п_к ~
-q - VU (1.14)
J n-k - i n'\
где F - функция симметричная относительно замены переменных
интегрирования
91 =*=* .....Qk + l 4in_k- (L 15)
Очевидно, при q0, i ф 0 все эти слагаемые суть нечетные функции ш*). Для
доказательства было существенно то обстоятельство, что числа ферми-оиных
функций Грина, содержащих аргументы р+ и р_, были одинаковы. Именно по
этой причине графики рис. 32, в надо рассматривать не по отдельности, а
