Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
nR."*U(B)+4^-Vs. "11.20)
а в квантовых поправках в (XII. 19) величину U (R, г) можно заменить на
U( R). Тогда получим
' ds
' № -Л{г,+ <'")+-г+
+ т?-'!"и + т1г ('"")'}• (т21>
Выделим теперь оператор Тг, положив
S2 = S3exp(- isTr). (ХН.22)
Тогда уравнение для 53 примет вид . dS3 0 f " /пч , , sh2 "2г, , s2h2
f гг I , sh2 "2 ,, ,
372
ПРИЛОЖЕНИЯ
С принятой степенью точности имеем
dSs " f ,,/m , 1 d2U , ish2 "2 ,i , sW г,ч, ,
_ = 53 { U (П) + т raг, + _ VRt/ + _ ( W +
, ish3 dU д sW d2U д2 \
4т dRadRa " drR 8m2 dtfad/?8 5гадгй у
h д А2 д2
Следует отметить, что в дальнейшем операторы-^- и ^ ^ действу-
ют на функцию eikr, давая члены порядка hk/rn и h2k2!m, которые не малы
по А или А2. Поэтому наличие последних двух членов в (XII. 23) не
является превышением точности - они также порядка А2, как и остальные.
Кроме того, опять в рамках принятого приближения, все члены в правой
части (XII. 23) коммутируют. Тогда уравнение (XII. 23) легко
интегрируется:
S3 = exp |-i ^ds' /C(s')j, (XII.24)
где величина K(s) есть выражение в фигурных скобках в уравнении (XII.
23).
Подставим (XII. 15), (XII. 18), (XII. 22) и (XII. 24) в (XII. 13) и
используем интегральное представление для функции б (г). Получим для
функции Грина /-й зоны
0<г) (R, г; со) =
ОО
= ^ ds ^ dk ехр {- es + is [Асо - ?, (k) - U (R)] + /кг
+ срг (R, г, к, s)},
о
(XII. 25)
где ?/(ft) есть закон дисперсии в t-й зоне (см (XII. 8), (XII. 9)), а
функции ф/ (I = с, v) даются выражениями
9c(R,r,k,S) = -|^M2 + ^l^-
d2U Гs I l t s2^2
dRadRp
Ттл^ + '5ГТМР" " Ла*р1 (XIL26)
[8 ^ 24m^ p 8 mc 1 J
(ft, (R, r, k s) - i
24 mn . d2U
V2 u - 8mv VRU
s3h4
dRadRf
[j VP +
24 m"
s2h2
8m,
1 1
ra.kji I •
(XII. 27)
Одночастичные функции Грина при наличии постоянного электрического поля
легко получить из (XII. 25), (XII. 26) и (XII. 27) заменой U(R) на
ПРИЛОЖЕНИЯ
373
U(R) -f egR. в результате имеем G{'] (R, г, со; g) =
ОО
= ^ ds ^ dk ехр es + is [йсо - Ei ^ - ^ (R) - e&R] +
+ /кг + Фг_ J (R, r, k, s)}, (XII. 28)
где
Фе, , (R, r, k, s) = - i (egy - i^~(eS. ВД+Фе (R. г, к. a) (XII.
29)
и
ф0, , (R, r, k, s) = / (eg)* + i __ (ee VKU) + фв (R, r, k, s).
(XII. 30)
Приведем для удобства основные формулы, описывающие правила усреднения
физических величин по ансамблю гауссовых гладких полей. Оно производится
с плотностью распределения, задаваемой функционалом (II. 7.12'). Усредним
указанным образом выражение типа (см. (XII. 28))
А = (exp F^U (R)), (XII. 31)
где Нц- линейный дифференциальный оператор. Получим
Л = ехр { 1 WF(R,R')}| , (XII. 32)
I ^ JlR = R'
где 4r(R, R')-бинарная корреляционная функция случайного поля:
*Р (R, R') = <?/ (R) U (R')). (XII. 33)
Обобщим указанный рецепт на случай отличных друг от друга случайных
потенциалов Ur. и Uv, отвечающих носителям заряда в разных зонах, с и и.
В этом случае усреднение производится с функционалом
*[t/ftt/Bl-tfexp{-l$rfr$rfr'[ U с (Г) Всс (г. Г') U а (г') +
+ U0 (г) Bvv (г, г') Uv (г') + 2Uе (г) Bcv (г, г') Uv (г')] }. (XII. 34)
Аналогично (XII. 32), усреднение по распределению (XII. 34) дает (Fc и
Нелинейные дифференциальные операторы)
Acv = (exp {FCUC (R) + FVUV (R))> =
= exp { 1 Fc (R) Fc (R') Vce (R, R') + ~FV (R) Fv (R') Vvv (R, R') +
+ Fc (R) Fv (R') Wet, (R, R') }| . (XII. 35)
' IR -R'
Здесь фигурирует очевидное обобщение функции (XII. 33):
Vlv (R, R') = (Ut (R) Uv (R')>. (XII. 36)
Наконец, в качестве примера использования полученных в настоящем при-
ложгяии выражений приведем результат для плотности состояний в l-н зоне.
374
ПРИЛОЖЕНИЯ
Исходя из выражения (XII. 25), в низшем по кг приближении получаем
ОО
Pi (Б) Re jj dk expj - es + is [E ~ E{
(k)] - j i|>ws2 1. (XII.37)
Q
На хвосте плотности состояний глубоко под дном зоны проводимости
невозмущенной задачи мы получаем отсюда
.3/2 / Р2
Ф\отТ ( Е л
p-,?,~i7T7F7'xpVi^J' (Х,1-38)
ХШ*. Вычисление интеграла по <о' в формуле для е2(<о) (V. 2.1)
Вычислим интеграл
ОО
/ (s + s') = ^ dm [nF (а/ - со) - rip (a/)] el (s+s,) (XIII. I)
- ОО
Подставляя сюда
n/;.(a>) = [ep(Am-f,+l]~'. (XIII. 2)
мы получаем
/(s+s')=- el (s+s)iF+ 2 )sinr(s+s')l^l f *1-eUs+m (xni. 3)
h L 2 J J ent + 1
- TO
Интеграл по | легко вычисляется:
ОО
[ ei|s+s')?=n Гб (s + s')--------------------1. (XIII. 4)
J + 1 L p sh [(s + s') я/p] J
-oo
Подставляя (XIII. 4) в (XIII. 3), находим
I 2jt J (s+s') (f+to/2) sin [(s + s') /г<в/2)
J(s + s)-he p sh [(s + s') я/Р] •
Заметим теперь, что существенные значения s и s' порядка Е-1, где Е -
некоторая характерная энергия, на которой убывает коэффициент поглощения
в запрещенной зоне. Мы рассматриваем случай низких температур:
77?<1.
Поэтому sh[(s + s')it/|3] можно заменить на (s + s')it/j3.
Таким образом, мы получаем из (XIII. 5)
/(*+*')-4V ^^>(^^/2)1шК5ДОйсо/2| (xnL6)
Это выражение можно получить и непосредственно из (XIII. 1), если
заменить функции Ферми ступенчатыми функциями.
Используем теперь повсеместно принимаемое нами предположение о достаточно
