Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
6. (х) + b, (x)-_2-(3-JL);
" , % 3 Зл2 - 2 " , ч 3 5л2+ 2
^(я) = ------------^-, ?(я)=^-------------------------^т-; (1Х-24)
w (п, х) =6я2/х2. (IX.25)
(IX.23)
364
ПРИЛОЖЕНИЯ
Далее, фиксируя, как и в случае (IX. 4), параметр и = 2я/х и пренебрегая
величинами порядка х-2, имеем
1(u)=y и~2 |п О + "2) ~ (1 + "2)~2. (IX.26)
i (и) = -i |n (1 + в") + (1 + u*)-2. (IX.27)
Нетрудно убедиться, что при малых и выражение (IX. 25) получается
из дру-
гого, вытекающего из (IX. 26), (IX. 27):
w (и) = [1 - и~2 In (1 + н2)] (1+2(1 + н2)-1), (IX.28)
w (и) " (3/2)"2, и<1. (IX.29)
Фактически только два последних выражения и нужны для вычисления Пц (у.)
с прежней точностью (до постоянного множителя). Снова можно отбросить
третье слагаемое в правой части (IX. 20) и положить
-i- ф (2) = y In w (2, к) = у In Др = - In к + Const (IX.30)
Далее, интеграл по г в выражении (IX. 20) можно переписать в виде
ОО
^ dz In w (г, я) = - vx + 4 In к + (л/З - l) + О (1). (IX.31)
2
Согласно (IX. 30) и (IX. 31) находим окончательно
Пц (к) = ^ ехр { к [v - ^ (V3 - 1)] } = (IX.32)
где константа v дается формулой (IX- 12).
X*. Поведение решения кинетического уравнения в области малых частот
Исследуем поведение решения кинетического уравнения (IV. 4.13) в области
низких частот. Вводя обозначения
Г6/х (со) ч v п
Yx = 2_,ru,
это уравнение можно переписать в виде
(Ух + (Ч) Р nF (Ех)]) Ух + Z = - Z ?хх (Гх - rv). (Х.1)
У У
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 14,6, и будем обозначать
состояния, локализованные в подсистеме А, символами ц (ц = 1, 2, ..., N),
а состояния, локализованные вне ее, - символами V. Тогда уравнение (Х.1)
можно переписать в виде системы N неоднородных линейных алгебраических
уравнений:
(Уц + (?ц) [1 " nF (?ц)]) Ум ((r)) ~ Z VV (со) =
(х-2)
W
ПРИЛОЖЕНИЯ
365
Здесь /д = ^ ifiv, гДе /^v - парциальные потоки между центрами (см.
V
(IV.4.14)). Таким образом, /д есть "граничный" поток, втекающий в [i-й
центр подсистемы А из внешних центров; потоки /д отличны от нуля лишь для
центров, близких к границам (лежащих на расстояниях порядка Rc от них).
Формальное решение уравнений (X. 2) можно записать в виде
Ун Ы = Оц ("0/Л (<о). (Х.З)
Здесь
Д (со) = | {Уд + Шр [Е^)\\-пр (Е^)]} - Гщ1, | (Х.4)
есть детерминант системы (порядка N), а Од (со) - детерминант, полученный
из D(со) заменой [i-го столбца неоднородными членами. Таким образом,
(")=-? W (*V - *V) V." -г Е Wn (")• <х-5>
ц'и" И'
где Л / (со) - соответствующие алгебраические дополнения. Из формулы (X.
4) и определения видно, что D(со) -0 при со ->¦ 0, поскольку сумма всех
столбцов детерминанта дает столбец, [i-й элемент которого равен 1(йпр (Е
) [1 - nF (?д)]. Раскрывая определитель по этому столбцу, получаем
D (со) = /со ? пр (EJ [1 - Пр (?(1)] (со). (Х.6)
н
С другой стороны, величины (со) остаются конечными в пределе со->О. Более
того, в силу линейной зависимости строк определителя (X. 4) при со = О
все дополнения Лдд' (ш) при со = 0 одинаковы:
11т А , (со) = А. (Х.7)
б)-"0 141
Эти свойства определителей позволяют исследовать поведение решения (X. 3)
при со->-0. Используя (X. 5), перепишем (Х.З) в виде
Ум (") =
I W PV ~ V) <") Г I V V, (со)
________цУ_____________________________________________
1(0 I nF (Ew) Vi (ш> Z nF (V) ["-MVM Vi <">~
"^М + ^Ча). (Х.8)
Первый член в (Х.8) остается конечным при со ->¦ 0. Действительно, сумму,
стоящую в числителе, можно преобразовать следующим образом:
X г(*V - *V) = I *V (vVv - W) V, =
= S {(V ,C0/IF (Е\х') Р nF (^V)]) (r)ц'м/ - Ац1')! ~~
li'ix"
~ to ? Га,пР (Яд,) [1 - /г, (Еи,)] Лц,ц =
= (со) - /со X Ги,п, (?") [1 -пр (Б",)] А^. (Х.9)
и'
Отсюда, с учетом (Х.6), видно, что числитель пропорционален со при малых
to.
т
Приложения
С другой стороны, последний член в (X. 8) в силу свойства (X. 7) при
малых со ведет себя как
т I v
---------^----------------------. (Х.10)
М-'
В числителе i^> есть сумма граничных потоков. Для подсистемы А м.'
(рас. 14,6) мы имеем
Z 'и' = 1 (*1) ~ 1 (Х2)> р-'
где i(Xi) есть суммарный поток, втекающий через плоскость х = Xi, а г(-
*Гг) - поток, вытекающий через плоскость х = хг. Если средний поток
меняется вдоль оси Ох по закону eikx, то при kL - k(x2 -xi) < 1
Js)_________П (xl + L/2) kL
*Е",и1'-мч1'
Регулярная часть решения у^ не дает вклада в плотность статического тока.
Действительно, с учетом (X, 9) имеем
Z г/;Ч (?,,) [1 - п, (?,)] = ? Г^пр (Еа) [1 -nf (?й)] -ц ц
II T,l'nF (Еи') [! - nf (V)] A"'".nF (Е") t1 ~ nF (?^)]
------------------------------------------------. (X. 12)
ЕМ5!*')!1
У-'
Замечая, что в пределе со0 сумма
["- м?и)]=4!?-
и не зависит от ц.', мы видим, что выражение (X. 12) обращается в нуль.
Таким образом, конечное значение плотности статического прыжкового тока
обусловлено сингулярной частью решения (X. 11). Подставляя (X. 8), (X.
11) в формулу (IV. 5.8), мы получаем в пределе при со 0 для средней по
объему плотности тока
'-ш-:V-'- т-м-
что, с учетом определения потока i(*i) через границу х = Xi, в точности
