Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*-> mat k
a= 1, 2, 3 a
Здесь a, p - векторные индексы (по повторяющимся индексам производится
суммирование), сг--номер ветви нормальных колебаний, W(j(k)-
соответствующая частота, е(<Т, к)-единичный вектор поляризации, т - масса
атома растворителя. Через Fp(k) обозначена фурье-компонента силы -
g').
действующей со стороны атома растворителя, находящегося в узле g, на атом
примеси, расположенный в узле g'. По условию равновесия сумма всех сил,
действующих на атом примеси, должна обращаться в нуль. Это означает, что
при k -> 0 фурье-компонента Fp(k) должна обращаться в нуль, т. е.
Fa (k) -> а0 k . (II. 6)
р PY Y ' '
Компоненты тензора apY могут зависеть от направления, по не от величины
вектора к. В этих же условиях м<т(к) = sck, где sa- соответствующая
скорость звука (она также может зависеть от направления к). Таким
образом, длинноволновая часть выражения (П. 5) принимает вид
<п-7>
а а
Возвращаясь теперь к координатному представлению с помощью формул (II. 7)
и (II. 3), следует заменить вектор с дискретными компонентами g тройкой
непрерывно меняющихся координат х.
Энергия взаимодействия носителя заряда с плавной деформацией решетки
дается выражением [1]
д"(а' 00
352
ПРИЛОЖЕНИЕ
Здесь ?ар - компоненты тензора потенциала деформации. Пользуясь соотно
шениями (II. 8) (II. 7), (11.6) и (II. 3), находим
Естественно, функция G(x)-случайная. Соответствующая бинарная
корреляционная функция дается выражением
При g Ф g' мы имеем (c(g)c(g')) = с2 и ^4gg, = 0. С другой стороны, если
g = g', то Agg, = (с2 (g)) - с2, По определению функции c(g) квадрат ее
равен ей самой. Таким образом, окончательно
(Дс (к) Дс* (к')> = Y, 0 е~1 г) = с (1 - с) 06к
к,, (II. 13)
Подставляя сюда в качестве С/(к) выражение (11.10) и суммируя по всем
значениям компонент вектора к, мы получили бы функцию б-образного вида.
Отсюда явствует, что в рассматриваемой задаче существенным оказывается
поведение U(к) при к, близком к вектору обратной решетки, и,
следовательно, вектор смещения u(g) изменяется в пространстве отнюдь не
плавно. Выражение (II. 8) при этом уже не справедливо, а детальный вид
корреляционной функции зависит от конкретной модели системы; ясно лишь,
что она должна быстро убывать с увеличением отношения | х - х' | к
постоянной решетки d. Эти осложнения могли бы привести к большим
вычислительным трудностям. Однако в ряде интересующих нас задач
существенно лишь поведение электронных волновых функций в областях,
линейные размеры которых
(II. 9)
к
где
(11.10)
(II. 11) ¦
? (x-x') = G~2 ? U (к) t/*(k')eikx-ik'x'<Ac(k) дс* (к')>.
к, к'
Б силу (II. 4)
<Дс(к)Дс*(к')> = ? e-iy*+iVs'ASi',
g. s'
где
dgg'=--(Ac (g)Ac (g')>-
По определению (II. 2)
Аев' = ( Hg) - с] [с (g') - с]) = <c (g) с (g')> - с\
Аее'-сО -с) 6gg,
(11.12)
г
где 6к к/ - символ Кронекера. Соответственно
Ч'(х, x')=--±-?c(l-c)|t/(k) |:
|2 еi (k, х-х')
(11.14)
k
ПРИЛОЖЕНИЯ
353
заметно превышают постоянную решетки. При этом явный вид корреляционной
функции на малых расстояниях не играет роли, и мы вправе положить *)
? (х, *') = Ч'ойос (1 - с) б (х - *')• (И-15)
Здесь Ч^о - постоянная размерности квадрата энергии (и порядка квадрата
потенциала деформации), Q0 - объем недеформированной элементарной ячейки.
Полагая
ф-0?30с (1 - с) = Ф0, (11.16)
получаем формулу (II. 7.37в).
Очевидно, в случае (11.15) нельзя определять средний квадрат флуктуации
потенциальной энергии 1|зь полагая там х' = х: при пользовании 6-функцией
всегда подразумевается, что она стоит под знаком интеграла. Иначе говоря,
величина tjji в данном случае определяется соотношением
(r)rfr = 4V(l-C) = -j2-. (II. 15')
Обратимся теперь к кристаллам со сложными решетками (г > 1). Здесь также
справедливы формулы вида (II. 5) и (II. 6) (с очевидным включением
индексов I). Отличие от предыдущего случая состоит, однако, в том, что
теперь суммирование по а охватывает как акустические, так и оптические
ветви нормальных колебаний. Соответственно для потенциальной энергии
носителя заряда мы получим сумму двух слагаемых:
и (г) = иас (г) + tfopt (")>
отвечающих, соответственно, акустическим и оптическим вкладам в вектор
смещения: иас и <>(. Для иас остаются в силе все предыдущие рассуждения
до формулы (II. 10) включительно. С другой стороны, длинноволновую часть
UoPt следует писать в виде
tV (*) == (П. 17)
Здесь Е - постоянный вектор, определяемый по структуре решетки. Легко
убедиться, что при этом к "акустическому" слагаемому (II. 10) добавляется
еще выражение
C/opt(k) = ^a. (П- 17')
где т) - вектор, не зависящий от величины к при малых | к |. Таким
образом, вместо (II. 14) мы получим
V (х, х') = ? -о" + ЛА ei <k' (П-18)
/ к
Как и при r= 1, при |х -х'|->-0 правая часть (11.18) оказалась бы
сингулярной: при суммировании по всем значениям компонент к мы получили
*) Строго говоря, выражение (11.15) справедливо лишь в приближении
изотропного континуума, когда компоненты тензора r)ap равно как и сама
