Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
энергии падающего света.
(2.57)
336 гл. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
ски исчезает, когда характерная частота 0 больше частоты фо-нона соо. Во-
вторых, с ростом случайного поля максимум кривой fph(co) сдвигается в
сторону более высоких энергий.
§ 3 *. Влияние гладкого поля на комбинационное
рассеяние в случае 1С
Рассмотрим теперь однофононное резонансное комбинационное рассеяние света
в условиях (1.11). Случайное поле по-прежнему будем считать гладким. Это
означает, что длина |0 не слишком мала. В соответствии с равенствами
(1.19), (1.20) в данном случае главную роль играют величины A/S(x, t\C),
которые следует усреднить с функцией распределения р\{С). Выделение
линейной по Hint(t') и Яе, Ри части оператора Дj(x,t) при этом удобно
производить не непосредственно, а вводя функцию Грина и пользуясь затем
стандартным разложением S-матрицы. Как и в § 2, будем считать, что
валентная зона целиком заполнена, а зона проводимости пуста и температура
достаточно низкая. Тогда "электронная" часть усреднения в (1.19) сводится
к усреднению по основному состоянию полупроводника. Интересуясь лишь
рассеянным светом в ограниченной спектральной области (см. § 1), мы можем
расцепить "электронную" часть усреднения в правой части (1.19)*):
<Д/Лх', С) Л/Лх, /; С)>е = <Д/Лх', С))е<АУЛх, Г, С)>е. (3.1)
Символ <.. ,)е здесь обозначает усреднение по основному состоянию
электронной подсистемы.
Введя причинную функцию Грина, получаем
-^-^dx^dl (А/'Лх, /; С))е =
=~ ? (k//1 е*р Iк/) if Sdt лс (к-ик •
0 к.;',; ' t'-t+o
(3.2)
Здесь AG(k, /; к',/'; t-t') есть линейное по и Яе, Рh сла-
гаемое в разложении функции
G (к, /; к', /'; t' - t) = i (Т {аы (() а+, (3.3)
*) Справедливость этого утверждения можно доказать, рассматривая фурье-
образ недиагональных матричных элементов оператора Д/s. Мы имеем
{X' | Ajs (ш) | X) ~ б (a>s - шг - coq + ши,),
где (Dq - фононная частота. Таким образом, при X' Ф X имеет место
дополнительный частотный сдвиг, который в рассматриваемом случае
оказывается порядка ширины запрещенной зоны.
§ 3*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ 'с " |0 337
Именно:
ДО (к, /; к', /'-/)l/w+0 =
= Т S dtl S ^ {Як/ ^ Ок'/' (О Я,п. (/l) Яе. ph (/2)})е. (3.4)
Временная зависимость операторов, фигурирующих в правой части (3.4),
определяется гамильтонианом
ЯЕ/ = Яе+ I (U|t/|kT)a+ak,r, (3.5)
е к, I, к', Г
где Яе- электронный гамильтониан (2.10). Подставляя в (3.4) явные
выражения для Hint(t) и Яе, ph(f) и расцепляя причинные функции Грина по
теореме Вика, находим
-^\dx ^dle(tm)*1 (bjs(x, t; С))е"
" - Px>f°Y "S' \dl2 \ dm e~iatl X /
2nmichz ^ i J /
ч
X[&q"(*2) + &-q(*2)] Z C0S, COJ q). (3.6)
Здесь оставлены только резонансные слагаемые, которые дан^у-ся
выражениями
К (со,-, (os, со; q) = ^ ^ Л jj d/, ^ dt2 ехр (mst - + Ш2) X
к, к], к2
X Gc (к, к,; / - /,) Gu (к" к2 - q; /, - t2) Gv (к2, к, /2 - 1) (3.7)
и
hc (со,-, cos, со; q) = ^ ^ dt ^dit ^ dt2 ехр (/соJ - + iat2) X
к" к), к)
X G° (к, к2 - q; t ~t2)Gc (к2, кь t2 - /,) Gv (кь к, /, - /). (3.8)
При расцеплении мы, как и в предыдущих главах, считали, что случайное
поле не перемешивает состояния с разными зонными индексами, т. е. зонный
индекс (поставленный сверху у причинных функций Грина) остается хорошо
определенным квантовым числом. При выводе равенства (3.6) матричные
элементы оператора импульса psvc, plcv и электрон-фононного
взаимодействия Vc, Vv считались слабо зависящими от к и q и были вынесены
из-под знаков соответствующих сумм. Переходя в причинных функциях Грина к
координатно-энергетическому представлению,
338 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
получаем для суммы в правой части (3.6)
Z VLhL{a>i, cos, со; q) = 6(co( -cos -со)/г(сог, со; q; С). (3.9)
l**C, V
Функция hi здесь содержит вклады от двух резонансных ела* гаемых (3.7) и
(3.8):
h (со,-, со; q; С) = (2зт)2 ^ rfx ^ dxx ^ dv G° (хь х2; v - со + <оЛ X
X {Gv (х2> х,; v - со) Vve~iqx' + Vce~iq*Gc (х2, х,; v + cot)} X
X Gv (хь х; v). (3.10)
В аргументе h(со/, (c);q; С) явно указана случайная величина С, от которой
зависит эта функция через "одетые" случайным полем причинные функции
Грина.
Пусть теперь, как и в предыдущем параграфе, операторы bq(t), bq (t)
даются выражениями (2.41). Тогда интеграл по t% в правой части (3.6) дает
6-функцию б (со ± co^ q), т. е., согласно
(3.9), cos = (o(. ± сот , чего и следовало ожидать при однофонон-ном
комбинационном рассеянии.
Подставляя выражение (3.6) в правую часть (1.20), находим
дифференциальное сечение рассеяния в виде *)
_ / jf_V 1 PlcPlcu Г x
dQdws СТОКС V'VV ml
X Z 6 ((r)" - C0S - (Oq) (1 + yvq) | й (со,-, (0,- - COs; q) |2.
(3.11)
q
Здесь
h, (со,-, со; q) = ^ dC р{ (С) h (со/, со; q; С) (3.12)
есть усредненная по случайной величине С функция (3.10), а Nq есть
фононное число заполнения:
N =-------тт^-гь-г- (3.13)
1 ехр (Acoq//) - 1 ' '
При выводе формулы (3.11) мы, как и раньше, принимали во внимание только
стоксову компоненту рассеянного света, для которой cos = со,- - coq.
