Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
228 ЯВЛЕНИЯ в КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
уравновешивается внешним напряжением. Мы имеем токи, ограниченные пространственным зарядом (ТОПЗ). Они аналогичны качественно токам в вакуумных диодах при напряжениях на аноде, меньших напряжения насыщения, хотя количественно между этими случаями имеются различия. Вследствие влияния объемного заряда такие контакты' не подчиняются закону Ома, и плотность тока растет быстрее, чем приложенное напряжение.
Найдем теперь вольтамперную характеристику. Будем по-прежнему исходить из основных уравнений (6.5) и (6.6), считая, что доноры и акцепторы полностью ионизованы. Тогда, исключая из этих уравнений концентрацию электронов п, получаем для определения электрического поля § (х) нелинейное уравнение второго порядка
в.+ »,*_йй'8+й*_0. (10.1)
dx2 \ kT dx ер, kT 1 ец kT ¦ ' '
Здесь плотность тока j = const входит как параметр, а ст0 = е\ш0 есть электропроводность в глубине пластинки полупроводника в отсутствие инжекции.
Задача существенно упрощается, если можно пренебречь током диффузии (который приводит к первому слагаемому в уравнении
(10.1)) по сравнению с током дрейфа. Тогда уравнение (10.1) переходит в уравнение первого порядка й его решение можно получить в аналитической форме.
Следуя Мотту и Герни [1], условие возможности пренебречь током диффузии можно оценить следующим образом. Интегрируя почленно уравнение (10.1) один раз, мы получим
Ш~2Jf&2---- = const-
Для грубой оценки порядка величин можно положить
Тх— Т’ h ь *
где 8 = ujL есть среднее значение поля, и — приложенное напряжение, a L — толщина рассматриваемого слоя полупроводника. Тогда условие возможности пренебрежения диффузией
?А<\ш&
принимает вид
При Т = 300 К имеем kT/е — 0,025 В. Однако эта оценка иногда оказывается слишком грубой и для пренебрежения диффузией необходимы значительно большие напряжения.
§ 10] ТОКИ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ 229
Для исследования уравнения (10.1) удобно ввести безразмерные величины координаты ху, поля St, потенциала <plt а также максвелловское время релаксации хм, определяемые соотношениями
_ е«0 ' р ffq а __ п0
Х1 — jx х> ©1 ~Т © — V ’
; м (10.2)
еп0а0 8 4 '
Тогда уравнение (10.1) (в пренебрежении диффузией) принимает вид
Sig--gi + l=0 (10.3)
при граничном условии
*1 = 0: 8х(0) = ^-. (Ю.4)
Решение уравнения (10.3) есть
8i + In(l—©i) = ^i + C, (10.5)
где постоянная интегрирования С определяется из граничного условия
С = &1 (0) + 1п [1 (0)]-
Так как, далее, для антизапорных контактов (0) = n0/nk 1. то, разлагая логарифм в последнем соотношении в ряд, мы имеем
С = М0) + [-&1(0)-±Ъ1ф)-..]=-±Ы(0)=-±(*-)\
(10.6)
Падение напряжения фх на толщине пластинки полупроводника равно
8l dxt g?
J 1-gr о 8i (0) §, (0)
В этом выражении можно приближенно положить нижний предел интегрирования §х (0) = 0, и тогда
Фх = ~2 §! + &i + In (1 — ©i) = ~2 §! + Xi -f- С. (10.7)
Так как безразмерные величины фх, и х1} согласно определениям (10.2), зависят от плотности тока j, то соотношение (10.7) представляет собой уравнение вольтамперной характеристики, заданное в параметрической форме. При этом для вычисления фх на толщине пластинки хх при заданном токе / значение (*i) должно быть найдено из уравнения (10.5). Так как это уравнение трансцендентно, то в общем случае для этого требуются численные расчеты. Однако можно получить простые аналитические выражения, если рассматривать отдельные области токов и напряжений,
230 ЯВЛЕНИЯ в КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ 1 ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
а. Слабые токи. Положим, что токи настолько слабы, что практически везде внутри полупроводника | хх | 1. Так как | С | 1
и, согласно (10.2), §г^Т, то уравнение (10.5) удовлетворяется только при отрицательных л:,. Это значит, что направление тока / противоположно положительному направлению оси X (от металла к полупроводнику), т. е. что при инжекции электронов в электронный полупроводник ток течет от полупроводника к металлу. Далее, из уравнения (10.5) следует, что при этом ~ 1. Или, в размерных величинах,
(область /). Напряжение на пластинке полупроводника толщиной L равно
закон Ома, а электропроводность равна ее значению а0 в отсутствие инжекции.
б. Сильные токи. Этот случай соответствует условию 8, 1.
Тогда, разлагая в (10.5) In в ряд и удерживая два первых члена разложения, имеем
