Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0
N.
-Ес
-F„ S
*W/Ж <r~ d -*•
Л
-I-------------
+
а) б)
Рис. 6.8,- Контактная разность потенциалов металла и полупроводника.
образовании же контакта состояния поверхностей, а следовательно и работы выхода, могут изменяться,'и поэтому контактная разность щ, измеренная в реальных опытах без надлежащих предосторожностей, может и не совпадать с высотой барьера при последующем образовании контакта.
§ 6. Распределение концентрации электронов и потенциала в слое объемного заряда
Рассмотрим теперь, от чего зависит толщина потенциального барьера в контактах.. Положим, что все величины зависят лишь от одной координаты х, отсчитываемой вдоль нормали к плоскости контакта (рис. 6.9). Полупроводник будем считать невырожденным и, для определенности, п-типа. Тогда для нахождения распределения потенциала и концентрации электронов мы имеем следующую систему уравнений:
выражение для плотности тока
уравнение Пуассона
д$ 4л р
дх ~ е
(6.1)
(6.2)
и уравнение непрерывности
dt = _ д± dt дх'
(6,3)
ЭЛЕКТРОНЫ И ПОТЕНЦИАЛ В СЛОЕ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА
217
В уравнении (6.1) мы пренебрегли током смещения и, кроме того, выразили коэффициент диффузии через подвижность с помощью соотношения Эйнштейна (2.8). Пусть, далее, полупроводник содержит доноры с концентрацией Nd и акцепторы с концентрацией /V„ < Nd. Тогда плотность объемного заряда р есть
р = em-Na-n), (6.4)
где концентрации заряженных доноров iVJ и акцепторов Na в общем случае являются функциями координат и времени.
В настоящей главе мы ограничимся только стационарными состояниями. Тогда уравнение непрерывности дает
j = const.
Далее, будем сначала считать, что доноры и акцепторы достаточно мелкие, так что уровни доноров везде расположены выше уровня Ферми, а уровни акцепторов — ниже уровня Ферми хотя бы на несколько kT (рис. 6.9). Тогда доноры и акцепторы будут полностью ионизованы и Nd = Nd, Nd = Na. В этом случае исходная система уравнений приобретает простой вид:
/=_ enn g. + iiW (6.Б)
Здесь через п0 обозначена постоянная концентрация электронов б глубине полупроводника, где о -- 0.
Положим, что плоскость контакта расположена при х = 0, и будем отсчитывать потенциал от его значения в этой плоскости. Тогда граничные условия будут
х = 0: ср = 0, n = nk; . _
jc = co: <p = uk-\-u, п = п0.
Здесь и — внешняя приложенная разность потенциалов.
Граничная концентрация nk в отсутствие тока есть заданная характеристика контакта, зависящая от природы металла и полупроводника:
п4 = п0ехр(—^. (6.8)
При наличии тока концентрация на границе п (0), вообще говоря, уже не равна равновесной пк, и точное определение этой концентра-
(пК) (п„)
Рис. 6.9. Контакт полупроводника, содержащего мелкие доноры и акцепторы, с металлом.
218
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
ции сложно. Однако мы положим, что это изменение невелико, так что п (0) можно считать приближенно не зависящим от тока и равным его равновесному значению nk.
Чтобы оценить величину токов, при которых это предположение еще допустимо, можно воспользоваться следующими соображениями. Электроны в полупроводнике, уже достигшие плоскости контакта, далее не встречают потенциального барьера и все проходят в металл. Без внешнего напряжения число таких электронов,
пересекающих 1 см2 контактной плоскости в 1 с, есть ~nkvT. Такое же число электронов переходит в обратном направлении из металла в полупроводник. Поэтому плотность тока через контакт можно выразить через граничные концентрации п (0) и /гА:
j = 1/ievT[n (0) — пк]. (6.9)
Отсюда видно, что п (0) ~ пк, если / мало по сравнению с каждым из слагаемых в (6.9). Полагая, например, n* ~ 1013 см-3 и vT ~
— 10 7 см/с, мы получим для второго слагаемого в правой части
(6.9) величину ~10 А/см2. Поэтому, если плотность тока через контакт не превышает, скажем, 0,1 А/см2, то разность между п (0) и пк будет не более 1 % и сделанное допущение будет хорошим приближением.
Мы рассмотрим сначала контакт' в отсутствие тока, Тогда из уравнения (6.5) имеем
n = tikex р|^. (6.10)
Подставляя это в (6.6), получаем уравнение
^2. _ (ехп ф- - ехп е-^-\ - — п (ехп -]) 1П
dx3 — е k\ Р kT ХР kT ) — е по[ехР kT
из которого можно найти распределение потенциала q> (х).
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
§ 7. Длина экранирования
Положим, что искривление зон у поверхности мало, так что
еиь/кТ 1. Тогда экспоненты в уравнении (6. Г1) можно разложить