Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/7=const. (3.1)
Это условие имеет простой физический смысл. Допустим временно, что оно не выполняется и F изменяется в пространстве. Положим, далее, что в полупроводнике имеется электрическое поле, так что потенциал,ф и концентрация электронов п зависят от координат. В этом случае энергетические зоны будут искривлены и химический потенциал F — Ес = ? (г) будет изменяться в пространстве (рис. 6.2). Найдем теперь полную плотность конвекционного тока электронов. Так как п есть функция безразмерного химического потенциала ?* = Z/kT, то можно написать
Vn = — V?* = — — VC п kT dt,*
Тогда выражение для плотности тока электронов (2.1) можно представить в виде
Рассматривая общий случай произвольного вырождения электронного газа и выражая здесь Dnf{in по формуле (2.11), находим
jn = Hnti V (S —еф).
Рис. 6.2. К условию-равновесия электронного газа.
210
ЯВЛЕНИЯ в КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Но (? — ец>) есть не что иное, как электрохимический потенциал F (ср. формулу (V.11.12)). Поэтому
j * = mrtVF, (3.2)
Если бы мы вместо электронов рассматривали ток дырок, то получили бы совершенно аналогичное выражение:
jp = V (? - еср) == VF. (3.2а)
Полученные результаты показывают, что условие равновесия
(3.1) означает просто отсутствие тока. Это и понятно, так как ток есть нарушение термодинамического равновесия. Из формул (3.2) и (3.2а) также видно, что полная плотность тока пропорциональна градиенту уровня Ферми. Поэтому уровень Ферми изменяется в пространстве особенно сильно там, где концентрация носителей
заряда мала (например, в обедненных приконтактных слоях),
в то время как в областях с большими значениями р,пп и jipp изменение F может быть очень малым.
Возвращаясь теперь к контакту металл—полупроводник, мы имеем, что в отсутствие тока Fu — F„. Это и было отмечено на рис. 6.1. Поэтому высота барьера для электронов (со стороны полупроводника) равна
euk = Fn-F№, (3.3)
где Fn и Fм — положение уровней Ферми в полупроводнике и, соответственно, в металле до контакта,
§ 4. Термоэлектронная работа выхода
Для нахождения глубины залегания уровней Ферми, которые, согласно формуле (3.3), определяют высоту потенциального барьера в контакте, удобно пользоваться значениями термоэлектронной работы выхода. Термоэлектронная работа может быть непосредственно измерена на опыте и для многих материалов является известной характеристикой. Чтобы выяснить интересующую нас связь, вычислим плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии js, т. е. заряд, переносимый электронами, испаряющимися в вакууме в 1 с с 1 см2 поверхности проводника, находящегося при температуре Т. Для этого представим себе, что наш проводник заключен в адиабатическую оболочку, поддерживаемую при температуре Т. Тогда над проводником будет электронный газ с некоторой концентрацией электронов пв и этот газ будет находиться в термодинамическом равновесии с проводником. Отсюда следует, что количество электронов, испаряющихся из проводника в вакуум, должно быть равно количеству электронов, приходящих из вакуума в проводник. Так Как электронный газ над проводником не вырожден, то скорости электронов в нем распределены по закону
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ РАБОТА ВЫХОДА
211
Максвелла. Поэтому мы воспользуемся хорошо известным из кинетической теории газов выражением для числа частиц, встречающих 1 см2 стенки в 1 с: V4 nvT, где п — концентрация частиц, a Vt — среднее значение абсолютной величины тепловой скорости. Следовательно, для электронного тока насыщения можно написать
Величину пв мы можем непосредственно найти из формул гл. V для концентрации электронов в зоне проводимости. Действительно, мы видели, что в случае параболического изотропного закона дисперсии для невырожденного полупроводника концентрация электронов в зоне выражается формулой (V.5.1). Для электронного газа в вакууме закон дисперсии точно выражается формулой
т. е. имеет тот же вид, с тем отличием, что вместо энергии Ес сейчас входит Е0 — энергия покоящегося электрона в вакууме, а вместо эффективной массы — масса изолированного электрона т0. Поэтому, заменяя в формуле (V.5.1) Ес на Е0 и в формуле (V. 4.3) т на /п0, находим
Подставляя (4.4) и (4.2) в (4.1), мы находим окончательно
есть универсальная постоянная, которая должна быть одинакова для всех веществ.
Формула (4.6) известна в вакуумной электронике как формула Ричардсона—Дэшмана. При этом, по определению, энергия Ф есть термоэлектронная работа выхода для данного вещества. Из формулы (4.5) видно, что Ф является разностью между энергией покоящегося электрона в вакууме у поверхности образца и уровнем Ферми в данном веществе (рис. 6.3).
is
где vT, согласно закону Максвелла, равна
