Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СООТНОШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА
207
нов сосредоточена у дна зоны проводимости, и поэтому электроны «чувствуют» потенциальный барьер. В случае же контакта двух металлов, так как концентрация электронов в них велика, толщина барьеров становится меньше длины волны де Бройля и электроны свободно проходят сквозь барьеры в результате туннельного эффекта. По этим причинам контакты именно полупроводников (с металлами или другими полупроводниками) оказываются особенно важными для технического использования.
Если концентрация носителей заряда изменяется в пространстве, то плотность тока определяется не только дрейфом частиц в электрическом поле, но и их диффузией. Если коэффициент диффузии электронов есть Dn, то плотность конвекционного тока электронов равна
}п ~ Здр “Ь Здиф = "Ь eDfiStl. (2.1)
Здесь — абсолютная величина подвижности электронов, а ток диффузии записан со знаком «+», так как для отрицательных частиц направление потока диффузии противоположно направлению тока.
Аналогично, для плотности конвекционного тока дырок имеем
Отметим, что выражения для токов диффузии и само понятие коэффициента диффузии имеют смысл, если изменение концентрации на длине свободного пробега I достаточно мало:
Для невырожденного полупроводника, согласно закону Больцмана,
Применительно к потенциальному барьеру под & следует понимать некоторое среднее поле внутри барьера §. По порядку величины ё — uk/L9, где Lb — длина экранирования электрического поля (см. § 7). Поэтому условие (2.6) можно записать также в виде
§ 2. Плотность тока. Соотношение Эйнштейна
jp = — eDp4p.
(2.2)
(2.3)
n = n0 exp ф
(2.4)
и, следовательно,
Vn = n~f y<p=-n~T&.
(2.5)
Тогда условие (2.3) принимает вид
(2.6)
208
ЯВЛЕНИЯ в КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) Lryi, VI
Подвижность и коэффициент диффузии не являются независимыми между собой величинами. Действительно, для данного типа частиц с заданной эффективной массой подвижность зависит только от среднего времени свободного пробега (т). Но и коэффициент диффузии частиц определяется той же самой величиной. Поэтому между обеими величинами существует связь. Она особенно проста для случая, когда электронный или, соответственно, дырочный газы можно считать невырожденными.
Рассмотрим электроны в полупроводнике при наличии градиента концентрации и в состоянии термодинамического равновесия. Это может быть, например, один из приповерхностных слоев, изображенных на рис. 6.1, в отсутствие тока. Тогда, подставляя уп из формулы (2.5) в правую часть выражения (2.1) и полагая /„ = 0, находим
Такую же формулу мы получили бы и для iip/Dp, рассматривая невырожденный газ дырок. Соотношение (2.8) было получено впервые Эйнштейном в теории броуновского движения. Однако оно имеет универсальный характер и применимо к любым частицам, если они образуют невырожденный газ. Оно позволяет по известной подвижности непосредственно найти коэффициент диффузии (который экспериментально определяется гораздо труднее), и обратно.
Полученный результат легко обобщить на случай произвольно вырожденного газа. Для этой цели нужно лишь воспользоваться формулой (V.4.4a), согласно которой концентрация электронов п есть функция безразмерного химического потенциала
Подставляя это выражение опять в правую часть формулы (2.1) пр'и i„ — 0, мы получаем
(2.9)
В этом случае
(2.10)
[д,л _ erf (In п)
D~n-kf^d^'
(2.11)
Рассуждая аналогично, мы имеем для дырок
d (|n Р) D0 kT rfrf ’
(2.12)
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ КОНТАКТИРУЮЩИХ ТЕЛ
209
Для невырожденного электронного газа
n = Ncex р?*, ^51 = 1
и формула (2.11) переходит в (2.8). То же самое справедливо и для дырок.
Мы получили соотношение Эйнштейна, предполагая термодинамическое равновесие. Однако этим соотношением можно пользоваться и при наличии тока, если только плотность тока не становится настолько большой, что она приводит к существенному нарушению функции распределения электронов (подробнее см. гл. XVI).
§ 3. Условия равновесия контактирующих тел
Рассмотрим теперь, от чего зависит высота потенциального барьера. Ответ на этот вопрос непосредственно следует из общих условий термодинамического равновесия. А именно, из статистической физики известно, что если два (или несколько) тел способны обмениваться друг с другом частицами, то в состоянии термодинамического равновесия электрохимический потенциал, т. е. уровень Ферми (ср. § V. 11), отсчитанный от произвольного, но одинакового уровня энергии, имеет одно и то же значение во . всех частях системы: