Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Условия (3.9) означают, что волновая функция должна быть периодична с периодом L. Соответственно и сами условия (3.9) называются условиями периодичности (или условиями Кармана — Борна). Сам куб со стороной L называется кубом периодичности
*) Можно показать [2], что при достаточно большой длине L распределение собственных значений компонент р с точностью до величин порядка ZT1 не зависит от граничных условий.
100 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
(употребляют также названия «фундаментальный объем», «основной объем» или «основная область»).
Поскольку длина L сколь угодно велика, мы вправе считать L целым кратным а, где а — постоянная решетки по соответствующему направлению. Поэтому, накладывая условия (3.9) на функцию
(2.15) и принимая во внимание свойство периодичности ик (г) (2.16), мы получаем
*'(V + V + VV<*t у, г) =
= eik^ + L) + iku{y^L) + ik^2 + l)uk{x + L, y + L, z + L) =
==eikx^ + L) + tkylV + L)+lk^ + L)Uk{x^ У' 2)_
Отсюда
y 2я y 2л y 2л ir\ i
kX = -J- tlXj ky = —?¦ Пул -j-~ tlz> (3. 1 v)
где nx, n,„ nz — положительные или отрицательные целые числа (ограниченные условиями (3.8)) или нули. Соответственно
2лй 2лй 2лй /Г)
Рх = — Пх, Ру = — пи, р. = --J- nz. (3.10)
Таким образом, значения компонент квазиволнового вектора (или квазиимпульса) образуют дискретную совокупность. Разности между соседними значениями их, однако, весьма малы (равны соответственно 2л/L и 2лИ/Ь). По этой причине указанная дискретность не проявляется в наблюдаемых на опыте электрических и оптических явлениях. Спектр такого типа называется квазинепре-рывным.
§ 4. Энергетические зоны
Обратимся к вопросу об энергетическом спектре электрона, движущегося в периодическом поле. Подставляя волновую функцию (2.15') в уравнение (2.4), получим
2 f ft 2 - 2^ V2«p (г) - - (p, Vup) 2,n0 "p + U (r) "p = Eth- (4.1)
Под U здесь понимается ротенциальная энергия электрона в периодическом поле *).
*) При учете спин-орбитального взаимодействия в левой части (4.1) появились бы два дополнительных слагаемых:
•^(.ITOxUK-^rP ,
Дальнейшие рассуждения при этом несколько усложнились бы. но качественные результаты (4.4), (4.5) и др. остались бы в силе (см., напримеп, [М7]). При фактическом расчете функций ир и собственных значений Е учет спин-орбитального взаимодействия может, однако, оказаться существенным.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ
101
Уравнение (4.1) представляет собой обычную задачу на собственные значения, в которой компоненты вектора р играют роль параметров. Разумеется, от них зависят не только собственные функции, но и собственные значения энергии: Е = Е (р). При заданных величинах рх, ру и рг уравнение (4.1) имеет, вообще говоря, много собственных значений и принадлежащих им собственных функций. Пронумеруем их индексом /, расположив значения Е в возрастающем порядке *):
? = ?/(р), Up (г) = «р/(г),
причем
^(pX^foX... (4.2)
Такой способ нумерации не обязателен, но удобен для дальнейшего.
Как показано в Приложении II, собственные функции уравнения (4.1), уотвечающие различным значениям / при фиксированных компонентах р, взаимно ортогональны **):
\u*viuvi' dr = 6,/'. (4.3)
Здесь 6w—символ Кронеккера (П.II.9); интеграл берется по основному объему.
Зафиксируем временно индекс I и рассмотрим свойства энергии как функции квазиимпульса при данном /.
Заменим, прежде всего, функцию ир на и% в уравнении (4.1), а также изменим там знак у р. Последняя операция эквивалентна замене i на —i в (4.1). Иначе говоря, указанные замены превращают уравнение (4.1) в сопряженное ему. Собственное значение Е, будучи вещественным, при этом измениться не может. Следовательно,
Ei (—р) = ?/(р); (4.4)
энергия электрона в периодическом поле есть четная функция квазиимпульса. Далее, мы знаем, что значения квазиимпульса, отличающиеся на ЙЬ, физически эквивалентны (для краткости мы не пишем теперь индекс т у вектора обратной решетки Ь, если это не вызывается необходимостью). Следовательно, соответствующие значения энергии должны совпадать:
Е1(р) = Е1(р + ПЪ). (4.5)
Таким образом, энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса с периодом обратной решетки, умноженным на h.
*) Не следует путать I с орбитальным квантовым числом, упоминавшимся-в гл. II. Последнее нигде более нам ие встретится.
**) Обратим внимание на то, что в левой части (4.1) фигурируют функции, принадлежащие одному и тому же вектору р: при разных р это были бы собственные функции разных операторов, не обязанные удовлетворять каким-либо условиям типа (4.3).
