Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
&.V
ляя сюда г|з в виде (5.4) и замечая, что в силу (5.3) функции <рг и ПРИ ё' Ф ё почти не перекрываются, мы получаем
+ СО
$ w2*— 2 ии2 ПчИ**—К12>
AV Г = — оо Д V
если AV есть малый элемент объема, окружающий g-й атомный остов.
Поскольку, согласно (5.10), | ag |2 = const, электрон в состоянии (5.4) с равной вероятностью может быть обнаружен около любого атома цепочки — в полном согласии с трансляционной инвариантностью системы.
Подставляя (5.10) в (5.8) и принимая во внимание (5.9), мы-получаем
+ СО
N ^ {(Ea-E)S(\g'-g\) + U (\gf-g\)}e^ = 0.
g = — оо
Произведем здесь замену переменной суммирования, полагая g' — g = g", Сокращая затем на eiXg\ находим
+ СО
N 2 {(Ea-E)S(\g"\) + U(\g"\)}e-w^O. (5.11)
g" = —со
Это равенство уже не содержит аргумента g', чем и доказывается правильность выбора решения в виде (5.10),
§ 0] МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 107
Поскольку N Ф 0, равенство (5.11) означает, что в нуль должна обращаться сумма по g". Это есть условие для определения собственных значений энергии электрона. Заменяя индекс суммирования g" на g, имеем:
+ СО
2 l/(| gi)e~as
Е = Еа + -^--------------------. (5.12)
2 S(i?i)«~ag
& = — со
Равенство (5.12) можно переписать в виде
СО
1/(0)+2 2 U{g)a»\g
Е = Еа +--------------------------. (5.12')
1 + 2 J] S(g)cosXg g= i
Суммы по g в (5.12) или (5.12') представляют собой периодические функции % с периодом 2л,
Легко видеть, что с точностью до множителя d параметр К представляет собой не что иное, как одномерный аналог квази-волнового вектора к, введенного в § 2 из общих соображений. Действительно, волновую функцию (5.4) с учетом (5.10) можно переписать в виде
+ СО
-t = N ? e**q>*(r-R*). (5.13)
й =— со
Введем вектор к с компонентами {АЛ-1, 0, 0} и заметим, что компоненты вектора R? суть, по определению, {dg, 0, 0}. Тогда формулу (5.13) можно переписать в виде
СО
q-N 2 ф* (Г - Ra) е‘ <k’ Re~r) +ikr = eikrик (г). (5.14)
g = —со
Очевидно, определяемая этим соотношением функция
+ СО
иь(г) = ЛГ /? e‘(k’^-%(r-Rg) (5.15)
g = —со
периодична с периодом нашей одномерной решетки d. Действительно, пусть а есть вектор с компонентами {d, 0, 0}. Для функции «к (г + а) мы имеем
-f- СО
ик (г + а) = JV 2 R^“r~a4g(r-Rg + a)- (5-16)
g = —со
Производя здесь замену переменной суммирования g — g' + 1, убеждаемся, что правые части равенств (5.15) и (5.16) одинаковы.
108 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Итак, выражение (5.14) есть частный случай общей формулы
(2.15): волновая функция -ip представляет собой произведение плоской волны-eikr на функцию, периодическую с периодом решетки.
Формулы (5.12), (5.12') также находятся в полном соответствии с § 4. В самом деле, период обратной решетки в данном случае равен Ь — 2я/d. Следовательно, собственные значения энергии Е периодически зависят от к с периодом Ь, как это и должно быть. Интервал (—Ь/2, + Ь/2) определяет первую (одномерную) зону Бриллюэна. Видно, далее, что Е есть четная функция к — опять в соответствии с результатами § 4.
Аналогичные формулы (в принятых выше предположениях) справедливы и для двух- и трехмерного случая. Так, для энергии электрона в простой трехмерной кубической решетке одновалентных атомов мы получаем
(5Л7)
е
где g — вектор, компоненты которого суть целые числа (или нули). Вектор Я очевидным образом связан с квазиволновым вектором к:
Xx = akx и-т. д.
В силу неравенства (5.3) величины t/(|g,|)H5(|gr|) быстро убывают с ростом аргумента | g | . По этой причине в рядах, фигурирующих в правых частях (5.12), (5.12') и (5.17), можно оставить только первые члены. Тогда равенство (5.12') принимает вид
Е = Еа -j- U (0) + 2 [U (1) — U (0) S (1)] cos X. (5.12")
Интегралы Sg’S и Ug-S можно вычислить, зная волновые функции электронов в изолированных атомах. Иногда, однако, эти величины (или подходящие их комбинации) рассматривают просто как параметры, подлежащие определению из опыта. При этом недостатки рассматриваемого метода расчета исчезают, но зато теряется возможность непосредственно связать структуру зон с химическими свойствами атомов, образующих кристалл.
