Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
~~2^УЧг + ^(г)ф*г = ?>^ (5Л)
Здесь Ug (г) — потенциальная энергия взаимодействия электрона с g-м атомом, Еа — собственное значение энергии, принадлежащее собственной функции cpg, т. е. дискретный энергетический уровень валентного электрона в данном атоме. Будем считать, что функция описывает s-состояние. Тогда уровень с энергией Еа вырожден (двукратно) только по спину.
Волновые функции, описывающие дискретные атомные уровни, быстро убывают по мере удаления электрона от ядра. Асимптотически на больших расстояниях фг ведет себя, в основном, как показательная функция:
Фг ^ ехР {- 1Г ** }. (5-2)
где та — константа размерности длины. Она играет роль «эффективного радиуса» атома и часто называется радиусом валентной орбиты. Мы будем считать ее малой по сравнению с расстоянием между соседними атомами d:
га < d. (5.3)
\
В реальных кристаллах это условие, как правило, не выполняется; поэтому излагаемый ниже метод расчета, основанный, по существу, на неравенстве (5.3), может иметь только ориентировочное значение. Тем не менее он позволяет понять физическую причину образования энергетических, зон и разобраться в ряде их характеристик.
В силу предположения об идентичности атомов цепочки, функции с различными номерами g отличаются друг от друга лишь
тем, что они «центрированы» около различных атомов; уровни
энергии, которые им принадлежат, разумеется, одинаковы, почему мы и не сйабдили Еа значком g.
При постепенном сближений атомов электрон начинает взаимодействовать не только со «своим», но и с «чужими» атомными остовами. Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид (2.4).
*) Если направить, например, ось х вдоль цепочки, то R? есть вектор с ком-
понентами {dg, 0, 0}.
МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
105
Условие (5.3) позволяет ожидать, что вблизи каждого атомного остова валентный электрон движется в основном так же, как и в изолированном атоме. Иначе говоря, вблизи g-ro атомного остова волновая функция электрона в цепочке г|з должна быть близка к <рг. В соответствии со сказанным будем искать решение уравнения
(2.4) в виде
ч> оо = 2(5-4)
g
где ag — коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (5.4) в (2.4), мы имеем
-{- СО
2 + -Ve)(fg + Ug(fg-E(fg} = {)- <5'5)
g = — со
С учетом уравнения (5.1) равенство (5.5) принимает вид
-{- СО
? ae{(Ea — E)4>g + (U — Ug)<pg} = 0. (5.6)
g= — со
Для определения коэффициентов % умножим обе части уравнения
(5.6) на комплексно сопряженную волновую функцию cpf- электрона в изолированном атоме g' и проинтегрируем по координатам электрона г. Введем обозначения
$ ФгФг dr = Sg'g, -Ug)<pgdr = Ug’g. (5.7)
Получим следующую систему уравнений:
-{- СО
У! ag {(Еа — Е) Sg'g + Ug'g} = 0. (5.8)
g = — со
Очевидно, Sgg = 1, так как это просто нормировочный интеграл для функции фga. Однако при g' Ф g интеграл Sg'g не равен нулю.
Можно лишь утверждать, что он мал по сравнению с единицей:
из условия (5.3) и асимптотического вида волновых функций
(5.2) вытекает, что с увеличением расстояния между атомами
интегралы Sg'g и Ug'g убывают, в основном, как exp f — ~ \ g' — g |).'
Величину Sg'g при g' ф g иногда называют интегралом неорто-гональности или интегралом перекрытия. Величина Ug'g при g' ф g называется интегралом переноса.
Поскольку все атомы цепочки одинаковы, интегралы Sg’g и i/g'g не могут зависеть от того, где именно расположены g-й и g'-м. атомы: существенно только расстояние между ними. Это означает, что Sg'g и Ug'g зависят только от абсолютного значения разности аргументов:
se'* = s(|g'-gD, uw = u(\e'-g\)- (5-9)
106 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Равенства (5.9) представляют собой математическое выражение условия идентичности всех атомов решетки и постоянства расстояния между соседними атомами. Иначе говоря, они выражают условие трансляционной инвариантности рассматриваемой нами системы.
Принимая во внимание равенства (5.9), легко в явном виде найти решение системы (5.8). Действительно, положим
ag = Ne°s, (5.10)
где нормировочный множитель N и параметр X не зависят от g, Поскольку волновая функция должна быть квадратично интегрируема, параметр X должен быть вещественным. Действительно, при комплексных (или чисто мнимых) значениях X коэффициент ag (а с ним и вся волновая функция' г|з) обращался бы в бесконечность при g-У СО или при g-y — оо.
Выбор решения в виде (5.10) с вещественными значениями X имеет ясный физический смысл. В самом деле, квадраты модулей отдельных членов ряда в (5.4) характеризуют вероятность найти электрон вблизи g-ro атомного остова. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что вероятность найти электрон в некотором элементе объема AV дается интегралом по этому объему ^ jij)|2 dr. Подстав-