Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бонч-Бруевич В.Л. -> "Физика полупроводников " -> 45

Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.

Бонч-Бруевич В.Л. , Калашников С.Г. Физика полупроводников — Москва, 1977. — 678 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikapoluprovodnikov1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 295 >> Следующая


~~2^УЧг + ^(г)ф*г = ?>^ (5Л)

Здесь Ug (г) — потенциальная энергия взаимодействия электрона с g-м атомом, Еа — собственное значение энергии, принадлежащее собственной функции cpg, т. е. дискретный энергетический уровень валентного электрона в данном атоме. Будем считать, что функция описывает s-состояние. Тогда уровень с энергией Еа вырожден (двукратно) только по спину.

Волновые функции, описывающие дискретные атомные уровни, быстро убывают по мере удаления электрона от ядра. Асимптотически на больших расстояниях фг ведет себя, в основном, как показательная функция:

Фг ^ ехР {- 1Г ** }. (5-2)

где та — константа размерности длины. Она играет роль «эффективного радиуса» атома и часто называется радиусом валентной орбиты. Мы будем считать ее малой по сравнению с расстоянием между соседними атомами d:

га < d. (5.3)

\

В реальных кристаллах это условие, как правило, не выполняется; поэтому излагаемый ниже метод расчета, основанный, по существу, на неравенстве (5.3), может иметь только ориентировочное значение. Тем не менее он позволяет понять физическую причину образования энергетических, зон и разобраться в ряде их характеристик.

В силу предположения об идентичности атомов цепочки, функции с различными номерами g отличаются друг от друга лишь

тем, что они «центрированы» около различных атомов; уровни

энергии, которые им принадлежат, разумеется, одинаковы, почему мы и не сйабдили Еа значком g.

При постепенном сближений атомов электрон начинает взаимодействовать не только со «своим», но и с «чужими» атомными остовами. Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид (2.4).

*) Если направить, например, ось х вдоль цепочки, то R? есть вектор с ком-

понентами {dg, 0, 0}.
МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

105

Условие (5.3) позволяет ожидать, что вблизи каждого атомного остова валентный электрон движется в основном так же, как и в изолированном атоме. Иначе говоря, вблизи g-ro атомного остова волновая функция электрона в цепочке г|з должна быть близка к <рг. В соответствии со сказанным будем искать решение уравнения

(2.4) в виде

ч> оо = 2(5-4)

g

где ag — коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (5.4) в (2.4), мы имеем

-{- СО

2 + -Ve)(fg + Ug(fg-E(fg} = {)- <5'5)

g = — со

С учетом уравнения (5.1) равенство (5.5) принимает вид

-{- СО

? ae{(Ea — E)4>g + (U — Ug)<pg} = 0. (5.6)

g= — со

Для определения коэффициентов % умножим обе части уравнения

(5.6) на комплексно сопряженную волновую функцию cpf- электрона в изолированном атоме g' и проинтегрируем по координатам электрона г. Введем обозначения

$ ФгФг dr = Sg'g, -Ug)<pgdr = Ug’g. (5.7)

Получим следующую систему уравнений:

-{- СО

У! ag {(Еа — Е) Sg'g + Ug'g} = 0. (5.8)

g = — со

Очевидно, Sgg = 1, так как это просто нормировочный интеграл для функции фga. Однако при g' Ф g интеграл Sg'g не равен нулю.

Можно лишь утверждать, что он мал по сравнению с единицей:

из условия (5.3) и асимптотического вида волновых функций

(5.2) вытекает, что с увеличением расстояния между атомами

интегралы Sg'g и Ug'g убывают, в основном, как exp f — ~ \ g' — g |).'

Величину Sg'g при g' ф g иногда называют интегралом неорто-гональности или интегралом перекрытия. Величина Ug'g при g' ф g называется интегралом переноса.

Поскольку все атомы цепочки одинаковы, интегралы Sg’g и i/g'g не могут зависеть от того, где именно расположены g-й и g'-м. атомы: существенно только расстояние между ними. Это означает, что Sg'g и Ug'g зависят только от абсолютного значения разности аргументов:

se'* = s(|g'-gD, uw = u(\e'-g\)- (5-9)
106 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III

Равенства (5.9) представляют собой математическое выражение условия идентичности всех атомов решетки и постоянства расстояния между соседними атомами. Иначе говоря, они выражают условие трансляционной инвариантности рассматриваемой нами системы.

Принимая во внимание равенства (5.9), легко в явном виде найти решение системы (5.8). Действительно, положим

ag = Ne°s, (5.10)

где нормировочный множитель N и параметр X не зависят от g, Поскольку волновая функция должна быть квадратично интегрируема, параметр X должен быть вещественным. Действительно, при комплексных (или чисто мнимых) значениях X коэффициент ag (а с ним и вся волновая функция' г|з) обращался бы в бесконечность при g-У СО или при g-y — оо.

Выбор решения в виде (5.10) с вещественными значениями X имеет ясный физический смысл. В самом деле, квадраты модулей отдельных членов ряда в (5.4) характеризуют вероятность найти электрон вблизи g-ro атомного остова. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что вероятность найти электрон в некотором элементе объема AV дается интегралом по этому объему ^ jij)|2 dr. Подстав-
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 295 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed