Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Во-вторых, можно фиксировать значение энергии в /-той зоне, полагая
Ei (р) = const. (6.1)
Уравнение (6.1) определяет поверхность в трехмерном пространстве квазиимпульсов. Ее называют изоэнергетической (или поверхностью
*) Название связано с волновыми представлениями об электроне. Действительно, в силу соотношений де Бройля згкон диспепсии есть не что иное, как зависимость частоты электронной волны от квазиволнового вектора.
§ 6] ЗАКОН ДИСПЕРСИИ. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
113
равных энергий). Придавая различные значения константе, стоящей в правой части (6.1), и задавая форму соответствующей изоэнерге-тической поверхности, мы полностью описываем закон дисперсии.
Рис. 3.4. Дисперсионные кривые (схематически): а) для двух неперекрывающихся зон; б) для смыкающихся зон.
Изоэнергетические поверхности обладают некоторыми свойствами симметрии. Прежде всего, согласно (4.4) они имеют центр симметрии, расположенный в точке р = 0: при изменении знаков у всех компонент р изоэнергетическая поверхность переходит сама в себя. Этот факт является совершенно общим — он не связан ни со структурой данной кристаллической решетки, ни с видом силового поля в ней. Дальнейшие свойства симметрии навязываются структурой решетки: помимо центра симметрии, изоэнергетическая поверхность обладает и всеми элементами симметрии данной кристаллической решетки.
Рассмотрим возможный вид дисперсионных кривых и изоэнергетических поверхностей вблизи точек экстремума в зонах.
На рис. 3.4, а схематически изображены кривые дисперсии для случая неперекрывающихся зон. Для определенности принято, что минимум (/+ 1)-й и максимум /-той зоны достигаются, соответственно, в точках (Рхго. 0, 0) и (0, 0, 0), причем, вообще говоря, рох ф 0; энергия отсчитывается от потолка нижней зоны.
Дисперсионные кривые для случая, когда зоны смыкаются в центре зоны Бриллюэна, схематически представлены на рис. 3.4,6. Здесь одно и то же значение энергии Et (0) = Ем (0) = 0 попадает сразу в две зоны. Иначе говоря, одному и тому же собственному значению энергии Е = 0 принадлежат две собственные функции: и0г [ и м0, t+х, т. е. имеет место вырождение. Соответственно
Рис. 3.5. Пример вырождения зон в точке максимума.
114
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
точка, в которой смыкаются зоны, называется точкой вырождения, а сами зоны — вырожденными в этой точке. Точка вырождения есть особая точка функции Е (р): в ней смыкаются две ветви Ei (р) и Ем (р), т. е. это есть точка ветвления 2-го порядка.
Возможен и более сложный случай, когда в точке вырождения смыкается большее число зон. Мы имеем тогда точку ветвления более высокого порядка. Может случиться также, что в точке вырождения обе зоны (или большее их число) имеют максимум (или минимум). Пример такой ситуации представлен на рис. 3.5.
Из рассмотрения вырожденных зон (рис. 3.4, 6) ясен смысл условия (4.2): как видно из рис. 3.4, б, только в этом случае равенство (4.4) оказывается справедливым для каждой зоны в отдельности *),
§ 7. Металлы и полупроводники
Представление о разрешенных и запрещенных зонах в сочетании с принципом Паули позволяет выяснить причину глубокого различия между металлами и полупроводниками, влекущую за собой различие в наблюдаемых электрических и других их свойствах. Для этой цели рассмотрим, как распределяются электроны по зонам в предельном случае температуры, стремящейся к абсолютному нулю.
Как мы знаем, объем зоны Бриллюэна составляет (2nh)3/V0, где Vo — объем элементарной ячейки-. С другой стороны, дозволенные значения компонент квазиимпульса даются формулами (3.10'). Из них следует, что каждому дозволенному вектору р — точке в зоне Бриллюэна — в обратной решетке соответствует ячейка объема (2zih)3/V, где V — объем кристалла. Таким образом, зона Бриллюэна содержит всего
(2яЯ)3 /(2лпу V г
V9 / V ~V0~U
состояний с разными квазиимпульсами — ровно столько, сколько элементарных ячеек имеется в данном кристалле. С учетом спина это означает, что полное число состояний в зоне Бриллюэна равно 2G. Согласно § 4 это же есть и число дозволенных квантовых состояний, содержащихся в каждой отдельной энергетической зоне. По принципу Паули каждое из этих состояний может быть занято только одним электроном. Пусть в элементарной ячейке данного кристалла содержится z электронов. Тогда общее число электронов в решетке есть zG. При достаточно низкой температуре они займут
*) При доказательстве соотношения (4.4) мы воспользовались тем обстоятельством, что вещественная величина Ei (р) не изменяется при переходе к сопряженному уравнению. В точке вырождения, однако, заранее не ясно, к каким именно зонам следует относить одййаковые значения энергии Е (р) и Е (—р).
МЕТАЛЛЫ И ПОЛУПРОВОДНИКИ
115
первые zG энергетических уровней. При этом имеются три возможности:
