Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
102 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ. ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
То же самое относится и к функции upi (г):
upi(r) = up + hb, ,(г). (4.5')
Рассматривая зависимость энергии от квазиимпульса, мы можем ограничиться изменением компонент р в пределах одного периода (т. е. одной какой-нибудь зоны Бриллюэна). Пусть квазиимпульс пробегает зону Бриллюэна. Можно доказать [Мб, М7], что при этом энергия есть непрерывная функция р. Иначе говоря, ее значения квазинепрерывно заполняют некоторый интервал
Eit min sg; ?/ (р) sg: El' max. (4.6)
В соответствии с формулами (3,10') разности между последовательными уровнями энергии в пределах данного интервала убывают как 1/L. При увеличении размеров куба периодичности они становятся сколько угодно малыми, в силу чего энергетический спектр электрона в пределах интервала (4.6) практически не отличается от непрерывного. По этой причине приставку «квази» часто опускают, говоря просто об области непрерывного спектра.
Интервал энергий, в пределах которого значения Ei (р) изменяются непрерывно, носит название энергетической зоны (или полосы). Число различных зон равно числу значений, принимаемых индексом /. По этой причине последний называют номером зоны (или зонным индексом).
Иногда удобно рассматривать все функции Е, (р) как различные ветви одной многозначной функции. Тогда индекс / есть номер ветви.
Величины Eit min и Elt max — минимум и максимум энергии в /-той зоне — называют, соответственно, дном и потолком зоны. Разность между ними есть ширина /-той зоны.
Обратимся теперь к зависимости собственных значений энергии от зонного индекса /. Рассмотрим две соседние зоны, характеризуемые функциями Ei (р) и ?;+1 (р). Согласно (4.2) может реализоваться одна из двух возможностей:
либо
El' шах <Et -J- 1, mini (4.7а)
либо
El, шах Ei +, , min* (4.76)
Последнее неравенство, разумеется, не противоречит (4.2), ибо дно /-той и потолок (/ + 1)-й зоны могут располагаться в различных точках зоны Бриллюэна.
В случае (4.7а) мы будем говорить, что /-тая и (/ + 1)-я зоны разделены запрещенной зоной. Ширина последней есть ?/, w = = ?i+li min — Ei, тах- Значения энергии, лежащие в запрещенной зоне, не относятся к собственным значениям гамильтониана. Иначе говоря, в отсутствие внешних полей электрон в идеальном кристалле такую энергию иметь не может, с чем и связано название «запре-
МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
103
щенная зона». В противоположность запрещенным, энергетические зоны, о которых мы говорили выше, называются разрешенными.
Ситуация, соответствующая случаю (4.7а), изображена на рис. 3.2, а. Разрешенные зоны, в которых лежат собственные значения энергии, заштрихованы; между ними расположена запрещенная зога-
Рис. 3.2. Энергетические зоны: а) неперекрывающиеся; б) перекрывающиеся.
В случае (4.76) мы будем говорить, что I-тая и (/ + 1)-я зоны перекрываются (или смыкаются, если имеет место знак точного равенства). Запрещенной зоны здесь, очевидно, нет. Такая ситуация изображена на рис. 3.2, б. Разрешенные зоны (/-тая и (/ + 1)-я) заштрихованы там в разных направлениях-; значения энергии из области, покрытой двойной штриховкой, принадлежат обеим зонам.
Характеристики зонного спектра, т. е. ширины разрешенных и запрещенных зон, значения квазиимпульса, при которых функции Ei (р) достигают максимумов и минимумов, и т. п. определяются конкретными особенностями данного кристалла. Их можно найти, решая уравнение Шредингера для данной конкретной системы. Практически, однако, проще определять необходимые величины непосредственно йз опыта (см. § IV.3 и гл. XVIII).
Доказанная в § 2 теорема Блоха приводит к выводу о зонном характере энергетического спектра идеального кристалла. Она, однако, не раскрывает физического механизма образования зон. Существо дела можно понять, рассматривая, как дискретные энергетические уровни, характерные для свободных атомов, превращаются в зоны при постепенном сближении атомов и объединении их в кристаллическую решетку. Для явного решения этой задачи удобно воспользоваться приближенным методом, предложенным впервые также Ф. Блохом и применимым, когда расстояния между соседними атомами велики по сравнению с их размерами. Для упрощения выкладок будем рассматривать не трехмерный кристалл,
§ 5. Метод сильно связанных электронов
104
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
а одномерную бесконечную цепочку одинаковых периодически расположенных одновалентных атомов. Обобщение на случай трех измерений и атомов большей валентности требует — в рамках данного метода — лишь не принципиального усложнения вычислений.
Пусть нам известна волновая функция валентного электрона в изолированном атоме. Обозначим ее через <рг (г— Rg), где g— номер атома в цепочке, г и Rg — радиус-векторы электрона и g'-го атомного остова *). Функция <pg удовлетворяет уравнению
