Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5ф1 дфг <?Фз
дру дру дру
дф! дц>2 Лрз
dPz dPz dpz Таким образом,
dq>2 d фз = ^ dpx dp у dpz,
и, следовательно,
—— я — я я
Выбирая другие периоды рх, р„, pz, мы получим вторую, третью и т. д. зоны Бриллюэна. Можно доказать [Мб], что объемы их всех одинаковы и равны (2лh)3/V0.
1
?
а1Х аЗХ
а
з у
alZ a2Z a3Z
(ai [а2 X ^з!)
№ •
98 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Вспоминая теперь равенство (3.5), видим, что объем зоны Бриллюэна равен объему элементарной ячейки в обратной решетке (умноженному на Й3, если речь идет о р-пространстве).
Как и элементарную ячейку, первую зону Бриллюэна можно выбрать и другим способом. Действительно, по определению она должна обладать следующими свойствами: а) внутри нее должна содержаться точка к = 0; б) любые два вектора к, входящие в нее, могут отличаться друг от друга не более чем на (Ь, + Ь2 + Ь3), и в) объем ее равен (2л) 3/V0• Этими свойствами обладает ячейка Вигнера — Зейтца., Она и представляет собой первую зону Бриллюэна. В дальнейшем мы будем пользоваться этим определением.
Таким образом, зона Бриллюэна есть чисто геометрическое понятие: форма ее зависит только от структуры решетки, но не от природы действующих в ней сил. Более того, как видно из предыдущего, зона Бриллюэна определяется только основными векторами решетки. Следовательно, она одна и та же как для простых, так и для базисных решеток одной и той же сингонии, например для простой гранецентрированной решетки и для решетки типа алмаза. На рис. 3.1 изображена первая зона Бриллюэна для решеток типа алмаза и цинковой обманки. Некоторые точки в ней представляют особый интерес при исследовании поведения электронов и дырок. Это — «точки симметрии», обладающие тем свойством, что они переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии, допускаемых в данной решетке. К числу названных точек относятся центр первой зоны Бриллюэна (т. е. начало координат в k-пространстве), центры ее граней или ребер, точки на осях — линиях, соединяющих центр зоны с центрами граней или ребер, и т. д. Их принято обозначать большими греческими или латинскими буквами, которые и указаны на рисунках. Так, точка Г есть не что иное, как центр первой зоны Бриллюэна, и т. д.
Неоднозначность квазиимпульса есть специфическое свойство электрона, движущегося в периодическом поле. Она составляет наиболее резкое различие между квазиимпульсом и импульсом: последний определен однозначно, и компоненты его рх, ру, рг изменяются в пределах от — со до + °°- Заметим, что мы можем формально убедиться в этом, требуя, как и в конце предыдущего параграфа, инвариантности системы относительно сдвига на любой вектор. Действительно, в этом случае точки, бесконечно близкие
Рис. 3,1. Первая зона Бриллюэна для решеток типа алмаза и цинковой обманки.
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
99
друг к другу, также являются эквивалентными, т. е. «постоянная решетки» а сколь угодно мала. Устремляя а к нулю, видим из (3.8'), что компоненты рх, ру, рг изменяются в пределах от— со др + оо. Объем «зоны Бриллюэна» при этом также оказывается бесконечным: она представляет собой просто все импульсное пространство.
Неравенства (3.8) определяют пределы изменения компонент квазиимпульса, но ничего не говорят о физически дозволенных их значениях. Таковые определяются граничными условиями, накладываемыми на волновую функцию г);. Строго говоря, граничные условия призваны отражать физическую ситуацию на поверхности образца. Эта ситуация определяется характером сил, действующих на электроны. Однако все силы взаимодействия, с которыми мы имеем дело, более или менее быстро убывают с расстоянием. Следовательно, условия на поверхности не могут сколько-нибудь заметно влиять на поведение электронов в глубине кристалла, если размеры его достаточно велики. Поэтому для определения возможных значений квазиимпульса в большом образце нет необходимости рассматривать истинную (далеко не простую) картину поверхностных явлений, а можно воспользоваться следующим искусственным приемом. Выделим прежде всего «внутреннюю область» кристалла, определив ее как объем, в котором не сказываются специфические эффекты, связанные с наличием поверхности. Внутреннюю область разобьем на ряд достаточно больших частей, например кубов со стороной L. Длина L должна значительно превышать все «физические» длины, фигурирующие в задаче, — постоянную решетки, длину волны электрона, длину свободного пробега и т. д.; в остальном значение L произвольно. Поскольку различные кубы ничем не выделены, естественно потребовать, чтобы значения волновой функции в соответственных (отстоящих друг от друга на расстояние L) точках соседних кубов были одинаковыми:
Ч>С*, У, г)=Ъ(х + Ь, у, Z) = ... = $(x + L, y + L, г + L). (3.9)
Равенства (3.9) позволяют ограничиться изучением движения электронов в пределах только одного куба, рассматривая его как «кристалл»; все, "что в нем происходит, будет повторяться и в других кубах. Таким образом, оказывается возможным формально ввести в задачу «размеры кристалла», не интересуясь в то же время явлениями на его поверхности *).
